ecuación de Kompaneyets

La ecuación de Kompaneyets se refiere a una ecuación cinética no relativista, de tipo Fokker-Planck , para la densidad numérica de fotones con la que los fotones interactúan con un gas de electrones mediante dispersión Compton , derivada por primera vez por Alexander Kompaneyets en 1949 y publicada en 1957 tras su desclasificación. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La ecuación de Kompaneyets describe cómo una distribución inicial de fotones se relaja hasta alcanzar la distribución de equilibrio de Bose-Einstein . Kompaneyets señaló que el campo de radiación por sí solo no puede alcanzar la distribución de equilibrio, ya que las ecuaciones de Maxwell son lineales, sino que necesita intercambiar energía con el gas de electrones. La ecuación de Kompaneyets se ha utilizado como base para el análisis del efecto Sunyaev-Zeldovich . ^{[ 3 ]}

Consideremos un baño de electrones no relativistas que se encuentra a una temperatura de equilibrio.${\displaystyle T_{e}}$, es decir,${\displaystyle k_{B}T_{e}\ll m_{e}c^{2}}$, dónde${\displaystyle m_{e}}$es la masa del electrón. Sea un campo de radiación de baja frecuencia que satisface la aproximación de fotones blandos, es decir,${\displaystyle \hbar \omega \ll m_{e}c^{2}}$dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia del fotón. Entonces, el intercambio de energía en cualquier colisión entre fotón y electrón será pequeño. Suponiendo homogeneidad e isotropía y expandiendo la integral de colisión de la ecuación de Boltzmann en términos de un pequeño intercambio de energía, se obtiene la ecuación de Kompaneyets. ^{[ 4 ]}

La ecuación de Kompaneyets para la densidad numérica de fotones${\displaystyle n(\omega ,t)}$lecturas ^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\omega ^{4}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right)\right]}$$

dónde${\displaystyle \sigma _{T}}$es la sección transversal total de Thomson y${\displaystyle n_{e}}$es la densidad numérica de electrones;${\displaystyle \lambda _{e}=1/(n_{e}\sigma _{T})}$es el rango de Compton o el camino libre medio de dispersión . Como es evidente, la ecuación se puede escribir en la forma de la ecuación de continuidad.

$${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}(\omega ^{2}j)=0,\quad j=-{\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}\omega ^{2}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right).}$$

Si introducimos los reescalamientos

$${\displaystyle \tau ={\frac {\sigma _{T}n_{e}k_{B}T_{e}}{m_{e}c}}t,\quad x={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}}$$

La ecuación se puede llevar a la forma

$${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \tau }}={\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{4}\left({\frac {\partial n}{\partial x}}+n^{2}+n\right)\right].}$$

La ecuación de Kompaneyets conserva el número de fotones.

$${\displaystyle N={\frac {Vk_{B}^{3}T_{e}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }n\,x^{2}dx}$$

dónde${\displaystyle V}$es un volumen suficientemente grande, ya que el intercambio de energía entre fotón y electrón es pequeño. Además, la distribución de equilibrio de la ecuación de Kompaneyets es la distribución de Bose-Einstein para el gas de fotones ,

$${\displaystyle n_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{e^{x}-1}}.}$$