Polinomios de Koornwinder

En matemáticas, los polinomios de Macdonald-Koornwinder (también llamados polinomios de Koornwinder ) son una familia de polinomios ortogonales en varias variables, introducidos por Koornwinder ^{[ 1 ]} e IG Macdonald [ ^{2 ] ,} que generalizan los polinomios de Askey-Wilson . Son los polinomios de Macdonald asociados al sistema de raíces afines no reducido de tipo ( C ^∨ _n , C _n ), y en particular satisfacen análogos de las conjeturas de Macdonald ^{[ 3 ]} . Además, Jan Felipe van Diejen demostró que los polinomios de Macdonald asociados a cualquier sistema de raíces clásico pueden expresarse como límites o casos especiales de polinomios de Macdonald-Koornwinder y halló conjuntos completos de operadores de diferencias conmutativos concretos diagonalizados por ellos. ^{[ 4 ]} Además, existe una gran clase de familias interesantes de polinomios ortogonales multivariables asociados con sistemas de raíces clásicos que son casos degenerados de los polinomios de Macdonald-Koornwinder. ^{[ 5 ]} Los polinomios de Macdonald-Koornwinder también se han estudiado con la ayuda de álgebras de Hecke afines . ^{[ 6 ]}

El polinomio de Macdonald-Koornwinder en n variables asociado a la partición λ es el único polinomio de Laurent invariante bajo permutación e inversión de variables, con monomio principal x ^λ , y ortogonal con respecto a la densidad

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}}$

en el toro unitario

${\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1}$,

donde los parámetros satisfacen las restricciones

${\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,}$

y ( x ; q ) _{∞ denota el} símbolo q-Pochhammer infinito . Aquí, el monomio principal x ^λ significa que μ≤λ para todos los términos x ^μ con coeficiente distinto de cero, donde μ≤λ si y solo si μ ₁ ≤λ ₁ , μ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂ , …, μ ₁ +…+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _n . Bajo las restricciones adicionales de que q y t son reales y que a , b , c , d son reales o, si son complejos, aparecen en pares conjugados, la densidad dada es positiva.

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• van Diejen, Jan F. (1995), "Operadores de diferencias conmutativos con autofunciones polinomiales", Compositio Mathematica , 95 : 183–233 , arXiv : funct-an/9306002 , MR 1313873 
• van Diejen, Jan F. (1999), "Propiedades de algunas familias de polinomios ortogonales hipergeométricos en varias variables", Trans. Amer. Math. Soc. , 351 : 233– 70, arXiv : q-alg/9604004 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR 1433128 , S2CID 16214156  
• Noumi, M. (1995), "Polinomios de Macdonald-Koornwinder y anillos de Hecke afines", Varios aspectos de las funciones hipergeométricas , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (en japonés), vol.  919, pp. 44–55 , MR 1388325  
• Macdonald, IG (2003), Álgebras de Hecke afines y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  157, Cambridge: Cambridge University Press, pp.  x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581 
• Stokman, Jasper V. (2004), "Apuntes de clase sobre polinomios de Koornwinder", Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions , Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal Polynomials, Hauppauge, NY: Nova Science Publishers, pp. 145–207 , MR 2085855