Desigualdad de Korn

En análisis matemático , la desigualdad de Korn es una desigualdad relativa al gradiente de un campo vectorial que generaliza el siguiente teorema clásico: si el gradiente de un campo vectorial es antisimétrico en cada punto, entonces el gradiente debe ser igual a una matriz antisimétrica constante. El teorema de Korn es una versión cuantitativa de esta afirmación, que intuitivamente dice que si el gradiente de un campo vectorial no está, en promedio, lejos del espacio de matrices antisimétricas, entonces el gradiente no debe estar lejos de una matriz antisimétrica particular . La afirmación de que la desigualdad de Korn se generaliza surge así como un caso especial de rigidez .

En la teoría de la elasticidad ( lineal ) , la parte simétrica del gradiente es una medida de la tensión que experimenta un cuerpo elástico cuando se deforma mediante una función dada con valores vectoriales. Por lo tanto, la desigualdad es una herramienta importante como estimación a priori en la teoría de la elasticidad lineal.

Sea Ω un dominio abierto y conexo en el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ , n  ≥ 2 . Sea H ¹ (Ω) el espacio de Sobolev de todos los campos vectoriales v  = ( v ¹ , ...,  v ⁿ ) en Ω que, junto con sus (primeras) derivadas débiles, se encuentran en el espacio de Lebesgue L ² (Ω) . Denotando la derivada parcial con respecto al ^componente i por ∂ _i , la norma en H ¹ (Ω) está dada por

${\displaystyle \|v\|_{H^{1}(\Omega )}:=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}.}$

Entonces existe una constante (mínima) C  ≥ 0 , conocida como la constante de Korn de Ω , tal que, para todo v  ∈  H ¹ (Ω) ,

donde e denota el gradiente simetrizado dado por

${\displaystyle e_{ij}v={\frac {1}{2}}(\partial _{i}v^{j}+\partial _{j}v^{i}).}$

La desigualdad (1) se conoce como desigualdad de Korn .

• Desigualdad de Hardy
• Desigualdad de Poincaré

• Cioranescu, Doina; Oleinik, Olga Arsenievna ; Tronel, Gérard (1989), "Sobre las desigualdades de Korn para uniones y estructuras de tipo marco", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Série I: Mathématiques, 309 (9): 591–596, MR  1053284, Zbl  0937.35502.
• Horgan, Cornelius O. (1995), "Las desigualdades de Korn y sus aplicaciones en la mecánica del medio continuo", SIAM Review , 37 (4): 491–511, doi :10.1137/1037123, ISSN  0036-1445, MR  1368384, Zbl  0840.73010.
• Oleinik, Olga Arsenievna ; Kondratiev, Vladimir Alexandrovitch (1989), "Sobre las desigualdades de Korn", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Série I: Mathématiques, 308 (16): 483–487, MR  0995908, Zbl  0698.35067.
• Oleinik, Olga A. (1992), "Desigualdades tipo Korn y aplicaciones a la elasticidad", en Amaldi, E .; Amerio, L .; Fichera, G .; Gregorio, T.; Grioli, G.; Martinelli, E .; Montalenti, G.; Pignedoli, A.; Salvini, Giorgio ; Scorza Dragoni, Giuseppe (eds.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8-11 de octubre de 1990), Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol. 92, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 183–209, ISSN  0391-805X, MR  1783034, Zbl  0972.35013, archivado desde el original el 7 de enero de 2017 , consultado el 27 de julio de 2014..

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Desigualdad de Korn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press