Ascensor Kosmann

En geometría diferencial , la elevación de Kosmann , ^{[ 1 ] [ 2 ]} llamada así en honor a Yvette Kosmann-Schwarzbach , de un campo vectorial${\displaystyle X\,}$en una variedad riemanniana${\displaystyle (M,g)\,}$es la proyección canónica${\displaystyle X_{K}\,}$en el paquete de marco ortonormal de su elevación natural${\displaystyle {\hat {X}}\,}$definido en el haz de marcos lineales. ^{[ 3 ]}

Existen generalizaciones para cualquier estructura G reductiva dada .

En general, dado un subconjunto${\displaystyle Q\subset E\,}$de un haz de fibras${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M\,}$encima${\displaystyle M}$y un campo vectorial${\displaystyle Z\,}$en${\displaystyle E}$su restricción${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$a${\displaystyle Q}$es un campo vectorial "a lo largo"${\displaystyle Q}$no sobre (es decir, tangente a)${\displaystyle Q}$. Si uno denota por${\displaystyle i_{Q}\colon Q\hookrightarrow E}$la incrustación canónica , entonces${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$es una sección del paquete de retroceso${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$, dónde

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,}$

y${\displaystyle \tau _ {E}\dos puntos TE\to E\,}$es el haz tangente del haz de fibras${\displaystyle E}$Supongamos que se nos da una descomposición de Kosmann del fibrado de retroceso .${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$, de tal manera que

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,}$

es decir, en cada${\displaystyle q\in Q}$uno tiene${\displaystyle T_{q}E=T_{q}Q\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$dónde${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$es un subespacio vectorial de ${\displaystyle T_{q}E\,}$y asumimos${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q\,}$ser un fibrado vectorial sobre${\displaystyle Q}$, llamado el haz transversal de la descomposición de Kosmann . De ello se deduce que la restricción${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$a${\displaystyle Q}$se divide en un campo vectorial tangente${\displaystyle Z_{K}\,}$en${\displaystyle Q}$y un campo vectorial transversal${\displaystyle Z_{G},\,}$siendo una sección del fibrado vectorial${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q.\,}$

Dejar${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$sea ​​el fibrado de marco ortonormal orientado de un orientado${\displaystyle n}$variedad riemanniana de -dimensiones${\displaystyle M}$con la métrica dada${\displaystyle g\,}$Este es un principio${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$-subpaquete de${\displaystyle \mathrm {F} M\,}$, el haz de marcos tangentes de marcos lineales sobre${\displaystyle M}$con grupo de estructura${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$Por definición, se puede decir que se nos da una reducción clásica.${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$-estructura. El grupo ortogonal especial${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$es un subgrupo de Lie reductivo de${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$De hecho, existe una descomposición en suma directa .${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)={\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {m}}\,}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)\,}$es el álgebra de Lie de${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$,${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(n)\,}$es el álgebra de Lie de${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$, y${\displaystyle {\mathfrak {m}}\,}$es el${\displaystyle \mathrm {Anuncio} _{\mathrm {S} \mathrm {O} }\,}$-subespacio vectorial invariante de matrices simétricas , es decir${\displaystyle \mathrm {Ad} _{a}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {m}}\,}$a pesar de${\displaystyle a\in {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,.}$

Dejar${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}\colon \mathrm {F} _{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm {F} M}$sea ​​la incrustación canónica .

Entonces se puede demostrar que existe una descomposición de Kosmann canónica del fibrado de retroceso.${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$de tal manera que

${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,}$

es decir, en cada${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$uno tiene${\displaystyle T_{u}\mathrm {F} M=T_{u}\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$siendo la fibra sobre${\displaystyle u}$del subpaquete${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$de${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$. Aquí,${\displaystyle V\mathrm {F} M\,}$es el subconjunto vertical de${\displaystyle T\mathrm {F} M\,}$y en cada${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$la fibra${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$es isomorfo al espacio vectorial de matrices simétricas${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

De la descomposición canónica y equivariante anterior , se deduce que la restricción${\displaystyle Z\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}}$de un${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )}$campo vectorial invariante${\displaystyle Z\,}$en${\displaystyle \mathrm {F} M}$a${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$se divide en un${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$campo vectorial invariante${\displaystyle Z_{K}\,}$en${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$, llamado campo vectorial de Kosmann asociado con${\displaystyle Z\,}$y un campo vectorial transversal${\displaystyle Z_{G}\,}$.

En particular, para un campo vectorial genérico${\displaystyle X\,}$en el colector base${\displaystyle (M,g)\,}$De ello se deduce que la restricción${\displaystyle {\hat {X}}\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,}$a${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$de su elevación natural${\displaystyle {\hat {X}}\,}$sobre${\displaystyle \mathrm {F} M\to M}$se divide en un${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$campo vectorial invariante${\displaystyle X_{K}\,}$en${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$, llamado el ascensor Kosmann de${\displaystyle X\,}$y un campo vectorial transversal${\displaystyle X_{G}\,}$.

• Paquete de marcos
• paquete de marcos ortonormales
• Paquete principal
• Paquete Spin
• Conexión (matemáticas)
• Estructura G
• colector de giro
• Estructura de espín

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol.  1 (Nueva  ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado del original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , recuperado el 4 de junio de 2011.
• Sternberg, S. (1983), Lecciones de geometría diferencial (2.ª  ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
• Fatibene, Lorenzo; Francaviglia, Mauro (2003), Formalismo natural y de gauge para teorías clásicas de campos , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1703-2