Función de partición de Kostant

Consideremos el sistema radicular A2, con raíces positivas.${\displaystyle \alpha _{1}}$,${\displaystyle \alpha _{2}}$, y${\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$. Si un elemento${\displaystyle \mu }$puede expresarse como una combinación lineal entera no negativa de${\displaystyle \alpha _{1}}$,${\displaystyle \alpha _{2}}$, y${\displaystyle \alpha _{3}}$, entonces desde${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$También puede expresarse como una combinación lineal entera no negativa de las raíces simples positivas.${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$:

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

con${\displaystyle n_{1}}$y${\displaystyle n_{2}}$siendo enteros no negativos. Esta expresión da una forma de escribir${\displaystyle \mu }$como una combinación entera no negativa de raíces positivas; otras expresiones se pueden obtener reemplazando${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$con${\displaystyle \alpha _{3}}$cierta cantidad de veces. Podemos hacer el reemplazo.${\displaystyle k}$tiempos, donde${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_ {1}, n_ {2})}$Por lo tanto, si la función de partición de Kostant se denota por${\displaystyle p}$obtenemos la fórmula

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$.

Este resultado se muestra gráficamente en la imagen de la derecha. Si un elemento${\displaystyle \mu }$no es de la forma${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$, entonces${\displaystyle p(\mu )=0}$.

La función de partición para los demás sistemas de raíces de rango 2 es más compleja, pero se conoce explícitamente. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para B ₂ , las raíces simples positivas son${\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)}$y las raíces positivas son las raíces simples junto con${\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}$y${\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}$La función de partición puede considerarse como una función de dos enteros no negativos.${\displaystyle n_{1}}$y${\displaystyle n_{2}}$, que representan el elemento${\displaystyle n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$. Luego la función de partición${\displaystyle P(n_{1},n_{2})}$puede definirse por partes con la ayuda de dos funciones auxiliares.

Si${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}$, entonces${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}$. Si${\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}$, entonces${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}$. Si${\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}$, entonces${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}$Las funciones auxiliares se definen para${\displaystyle n\geq 1}$y son dados por${\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$y${\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}$para${\displaystyle n}$incluso,${\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}$para${\displaystyle n}$extraño.

Para G ₂ , las raíces positivas son${\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}$y${\displaystyle (3,2)}$, con${\displaystyle (1,0)}$denotando la raíz simple corta y${\displaystyle (0,1)}$que denota la raíz simple larga.

La función de partición se define por partes, dividiendo el dominio en cinco regiones, con la ayuda de dos funciones auxiliares.

Para cada raíz${\displaystyle \alpha }$y cada uno${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$, podemos aplicar formalmente la fórmula para la suma de una serie geométrica para obtener

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }$

donde no nos preocupa la convergencia, es decir, la igualdad se entiende a nivel de series de potencias formales . Usando la fórmula del denominador de Weyl

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

obtenemos una expresión formal para el recíproco del denominador de Weyl: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}$

Aquí, la primera igualdad se obtiene tomando un producto sobre las raíces positivas de la fórmula de la serie geométrica y la segunda igualdad se obtiene contando todas las formas en que una exponencial dada${\displaystyle e^{\mu (H)}}$puede ocurrir en el producto. La función${\displaystyle \ell (w)}$es cero si el argumento es una rotación y uno si el argumento es una reflexión.

Este argumento muestra que podemos convertir la fórmula del carácter de Weyl para la representación irreducible con el peso más alto.${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \operatorname {ch} V={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

de un cociente a un producto:

${\displaystyle \operatorname {ch} V=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

Utilizando la reescritura anterior de la fórmula del carácter, es relativamente fácil escribir el carácter como una suma de exponenciales. Los coeficientes de estas exponenciales son las multiplicidades de los pesos correspondientes. De este modo, obtenemos una fórmula para la multiplicidad de un peso dado.${\displaystyle \mu }$en la representación irreducible con mayor peso${\displaystyle \lambda }$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {mult} \mu =\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

Este resultado es la fórmula de multiplicidad de Kostant .

El término dominante en esta fórmula es el término${\displaystyle w=1}$; la contribución de este término es${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$, que es simplemente la multiplicidad de${\displaystyle \mu }$en el módulo Verma con mayor peso${\displaystyle \lambda }$. Si${\displaystyle \lambda }$está suficientemente adentro de la cámara fundamental de Weyl y${\displaystyle \mu }$está suficientemente cerca de${\displaystyle \lambda }$, puede suceder que todos los demás términos de la fórmula sean cero. Específicamente, a menos que${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$es más alto que${\displaystyle \mu +\rho }$, el valor de la función de partición de Kostant en${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$será cero. Por lo tanto, aunque la suma es nominalmente sobre todo el grupo de Weyl, en la mayoría de los casos, el número de términos distintos de cero es menor que el orden del grupo de Weyl.