Número de Kostka

En matemáticas , el número de Kostka${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$(dependiendo de dos particiones enteras)${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$) es un entero no negativo que es igual al número de cuadros de Young semiestándar de forma${\displaystyle \lambda }$y peso${\displaystyle \mu }$Fueron introducidas por el matemático Carl Kostka en su estudio de las funciones simétricas ( Kostka (1882) ). ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, si${\displaystyle \lambda =(3,2)}$y${\displaystyle \mu =(1,1,2,1)}$, el número de Kostka${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$cuenta el número de maneras de llenar una colección de casillas alineadas a la izquierda con 3 casillas en la primera fila y 2 casillas en la segunda fila con 1 copia del número 1, 1 copia del número 2, 2 copias del número 3 y 1 copia del número 4 de tal manera que las entradas aumenten a lo largo de las columnas y no disminuyan a lo largo de las filas. Los tres cuadros de este tipo se muestran a la derecha, y${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=3}$.

Para cualquier partición${\displaystyle \lambda }$, el número de Kostka${\displaystyle K_{\lambda \lambda }}$es igual a 1: la única forma de llenar el diagrama de Young de forma${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{m})}$con${\displaystyle \lambda _{1}}$copias de 1,${\displaystyle \lambda _{2}}$copias de 2, y así sucesivamente, de modo que el tablero resultante sea débilmente creciente a lo largo de las filas y estrictamente creciente a lo largo de las columnas es si todos los 1 se colocan en la primera fila, todos los 2 se colocan en la segunda fila, y así sucesivamente. (Este tablero a veces se llama tablero de Yamanouchi de forma${\displaystyle \lambda }$.)

El número de Kostka${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$es positivo (es decir, existen cuadros de Young semiestándar de forma${\displaystyle \lambda }$y peso${\displaystyle \mu }$) si y solo si${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$son ambas particiones del mismo entero${\displaystyle n}$y${\displaystyle \lambda }$es mayor o igual que${\displaystyle \mu }$en orden de dominancia . ^{[ 2 ]}

En general, no se conocen fórmulas sencillas para los números de Kostka. Sin embargo, se conocen algunos casos especiales. Por ejemplo, si${\displaystyle \mu =(1,1,\dotsc,1)}$es la partición cuyas partes son todas 1 entonces un cuadro de Young semiestándar de peso${\displaystyle \mu }$es un cuadro de Young estándar; el número de cuadros de Young estándar de una forma determinada${\displaystyle \lambda }$viene dada por la fórmula de la longitud del anzuelo .

Una propiedad simple e importante de los números de Kostka es que${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$no depende del orden de las entradas de${\displaystyle \mu }$. Por ejemplo,${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=K_{(3,2)(1,1,1,2)}}$Esto no es inmediatamente obvio a partir de la definición, pero se puede demostrar estableciendo una biyección entre los conjuntos de cuadros de Young semiestándar de forma${\displaystyle \lambda }$y pesos${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \mu ^{\prime }}$, dónde${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \mu ^{\prime }}$Se diferencian únicamente intercambiando dos entradas. ^{[ 3 ]}

Además de la definición puramente combinatoria anterior, también pueden definirse como los coeficientes que surgen al expresar el polinomio de Schur.${\displaystyle s_{\lambda }}$como una combinación lineal de funciones simétricas monomiales${\displaystyle m_{\mu }}$:

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },}$

dónde${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$son ambas particiones de${\displaystyle n}$Alternativamente, los polinomios de Schur también pueden expresarse ^{[ 4 ]} como

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\alpha }K_{\lambda \alpha }x^{\alpha },}$

donde la suma se realiza sobre todas las composiciones débiles${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle n}$y${\displaystyle x^{\alpha }}$denota el monomio${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsc x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

En el nivel de representaciones del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$Los números de Kostka expresan la descomposición del módulo de permutación.${\displaystyle M_{\mu }}$en términos de las representaciones irreducibles${\displaystyle V_{\lambda }}$dónde${\displaystyle \lambda }$es una partición de${\displaystyle n}$, es decir,

${\displaystyle M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.}$

En el nivel de representaciones del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} _ {d}(\mathbb {C} )}$, el número de Kostka${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$también cuenta la dimensión del espacio de peso correspondiente a${\displaystyle \mu }$en la representación irreducible unitaria${\displaystyle U_{\lambda }}$(donde lo necesitemos)${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$tener como máximo${\displaystyle d}$regiones).

Los números de Kostka para particiones de tamaño como máximo 3 son los siguientes:

${\displaystyle K_{\varnothing \varnothing }=1,}$

${\displaystyle K_{(1)(1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2)(2)}=K_{(2)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(1,1)(2)}=0,\,K_{(1,1)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(3)(3)}=K_{(3)(2,1)}=K_{(3)(1,1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2,1)(3)}=0,\,K_{(2,1)(2,1)}=1,\,K_{(2,1)(1,1,1)}=2,}$

${\displaystyle K_{(1,1,1)(3)}=K_{(1,1,1)(2,1)}=0,\,K_{(1,1,1)(1,1,1)}=1.}$

Estos valores son exactamente los coeficientes en las expansiones de las funciones de Schur en términos de funciones simétricas monomiales:

${\displaystyle s_{\varnothing }=m_{\varnothing }=1}$

${\displaystyle s_{(1)}=m_{(1)}}$

${\displaystyle s_{(2)}=m_{(2)}+m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1)}=m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(3)}=m_{(3)}+m_{(2,1)}+m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(2,1)}=m_{(2,1)}+2m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1,1)}=m_{(1,1,1)}}$

Kostka (1882 , páginas 118-120) proporcionó tablas de estos números para particiones de números hasta 8.

Los números de Kostka son valores especiales de los polinomios de Kostka de 1 o 2 variables :

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).}$

• Stanley, Richard (1999), Combinatoria enumerativa, volumen 2 , Cambridge University Press
• Kostka, C. (1882), "Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen" , Crelle's Journal , 93 : 89– 123, doi : 10.1515/crll.1882.93.89
• Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Monografías matemáticas de Oxford (2.ª  ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144 {{citation}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Funciones de Schur en combinatoria algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press