Teoría de Picard-Vessiot

En álgebra diferencial , la teoría de Picard-Vessiot estudia la extensión de campo diferencial generada por las soluciones de una ecuación diferencial lineal , utilizando el grupo de Galois diferencial de dicha extensión. Un objetivo principal es describir cuándo la ecuación diferencial puede resolverse mediante cuadraturas, en función de las propiedades del grupo de Galois diferencial. Esta teoría fue desarrollada por Émile Picard y Ernest Vessiot entre 1883 y 1904 aproximadamente.

Kolchin (1973) y van der Put y Singer (2003) ofrecen descripciones detalladas de la teoría de Picard-Vessiot.

La historia de la teoría de Picard-Vessiot es analizada por Borel (2001 , capítulo VIII) .

La teoría de Picard-Vessiot fue desarrollada por Picard entre 1883 y 1898 y por Vessiot entre 1892 y 1904 (resumida en Picard , 1908 , capítulo XVII, y Vessiot , 1892 , 1910 ) . El resultado principal de su teoría establece, a grandes rasgos, que una ecuación diferencial lineal puede resolverse mediante cuadraturas si y solo si su grupo de Galois diferencial es conexo y resoluble . Desafortunadamente, es difícil determinar con exactitud qué demostraron, ya que el concepto de "resoluble mediante cuadraturas" no se define con precisión ni se utiliza de forma consistente en sus trabajos. Kolchin ( 1946 , 1948 ) proporcionó definiciones precisas de los conceptos necesarios y demostró una versión rigurosa de este teorema.  

Kolchin (1952) extendió la teoría de Picard-Vessiot a campos diferenciales parciales (con varias derivaciones conmutativas).

Kovacic (1986) describió un algoritmo para decidir si las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden pueden resolverse mediante cuadraturas, conocido como el algoritmo de Kovacic .

Una extensión F  ⊆ K de campos diferenciales se denomina extensión de Picard-Vessiot si todas las constantes están en F y K se puede generar adjuntando las soluciones de un polinomio diferencial ordinario lineal homogéneo. 

Un anillo de Picard-Vessiot R sobre el cuerpo diferencial F es un anillo diferencial sobre F que es simple (sin ideales diferenciales distintos de 0 y R ) y generado como un álgebra k por los coeficientes de A y 1/det( A ), donde A es una matriz invertible sobre F tal que B = A ′ / A tiene coeficientes en F. (Por lo tanto, A es una matriz fundamental para la ecuación diferencial y ′  = By ). 

Una extensión F  ⊆ K de campos diferenciales se denomina liouvilliana si todas las constantes están en F , y K puede generarse adjuntando un número finito de integrales, exponenciales de integrales y funciones algebraicas. Aquí, una integral de un elemento a se define como cualquier solución de y ′ = a , y una exponencial de una integral de a se define como cualquier solución de y ′ = ay .     

Una extensión de Picard-Vessiot es liouvilliana si y solo si la componente identidad de su grupo de Galois diferencial es resoluble ( Kolchin 1948 , p. 38 , van der Put y Singer 2003 , Teorema 1.39 ). Más precisamente, las extensiones mediante funciones algebraicas corresponden a grupos de Galois diferenciales finitos, las extensiones mediante integrales corresponden a subcocientes del grupo de Galois diferencial unidimensionales y unipotentes, y las extensiones mediante exponenciales de integrales corresponden a subcocientes del grupo de Galois diferencial unidimensionales y reductivos (toros). 

• Beukers, Frits (1992), "8. Teoría diferencial de Galois", en Waldschmidt, Michel; Moussa, Pierre; Luck, Jean-Marc; et  al. (eds.), De la teoría de números a la física. Conferencias de una reunión sobre teoría de números y física celebrada en el Centre de Physique, Les Houches (Francia), del 7 al 16 de marzo de 1989 , Berlín: Springer-Verlag , pp. 413–439 , ISBN  3-540-53342-7, Zbl 0813.12001 
• Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos , History of Mathematics, vol.  21, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105 
• Kolchin, ER (1946), "La teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (12): 308–311 , Bibcode : 1946PNAS...32..308K , doi : 10.1073/pnas.32.12.308 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87871 , MR 0018168 , PMC 1078958 , PMID 16578224     
• Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 49 (1): 1– 42, doi : 10.2307/1969111 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969111 , MR 0024884   
• Kolchin, ER (1952), "Teoría de Picard-Vessiot de campos diferenciales parciales", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 3 (4): 596– 603, doi : 10.2307/2032594 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032594 , MR 0049883   
• Kolchin, ER (1973), Álgebra diferencial y grupos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  54, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417650-8, MR 0568864 
• Kovacic, Jerald J. (1986), "Un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden", Journal of Symbolic Computation , 2 (1): 3– 43, doi : 10.1016/S0747-7171(86)80010-4 , ISSN 0747-7171 , MR 0839134  
• Picard, Émile (1908) [Publicado por primera vez en 1896], Traité d'analyse (en francés), vol.  3 (  ed. Deuxieme), Gauthier-Villars - vía Internet Archive
• van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  328, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8, MR 1960772 
• Vessiot, Ernest (1892), "Sur l'intégration des équations différentielles linéaires", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3 (en francés), 9 : 197– 280, doi : 10.24033/asens.372 , hdl : 2027/hvd.32044102925955
• Vessiot, Ernest (1910), "Méthodes d'intégration élémentaires" , en Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (en francés), vol.  3, Gauthier-Villars y Teubner, págs . 58-170 
• Teresa Crespo y Zbigniew Hajto (2011): Grupos algebraicos y teoría diferencial de Galois , AMS (GSM122), ISBN 978-0-8218-5318-4.

• Kovacic, JJ (2005), Teoría de Picard-Vessiot, grupos algebraicos y esquemas de grupos (PDF)