Seki Takakazu

Sus matemáticas (y el wasan en su conjunto) se basaban en el conocimiento matemático acumulado entre los siglos XIII y XV. ^{[ 12 ]} El material de estas obras consistía en álgebra con métodos numéricos, interpolación polinómica y sus aplicaciones, y ecuaciones enteras indeterminadas. La obra de Seki se basa, en mayor o menor medida, en estos métodos conocidos y guarda relación con ellos.

Los algebristas chinos descubrieron la evaluación numérica ( método de Horner , restablecido por William George Horner en el siglo XIX) de ecuaciones algebraicas de grado arbitrario con coeficientes reales. Utilizando el teorema de Pitágoras , redujeron sistemáticamente los problemas geométricos al álgebra. Sin embargo, el número de incógnitas en una ecuación era bastante limitado. Utilizaban notaciones de una matriz de números para representar una fórmula; por ejemplo,${\displaystyle (a\ b\ c)}$para${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$.

Posteriormente, desarrollaron un método que utiliza matrices bidimensionales, que representan como máximo cuatro variables, pero el alcance de este método era limitado. Por consiguiente, uno de los objetivos de Seki y sus contemporáneos matemáticos japoneses fue el desarrollo de ecuaciones algebraicas multivariables generales y la teoría de la eliminación .

En el método chino de interpolación polinómica, la motivación era predecir el movimiento de los cuerpos celestes a partir de datos observados. Este método también se aplicó para hallar diversas fórmulas matemáticas. Seki aprendió esta técnica, muy probablemente, mediante un estudio minucioso de los calendarios chinos.

En 1671, Sawaguchi Kazuyuki (沢口 一之) , discípulo de Hashimoto Masakazu (橋本 正数) en Osaka , publicó Kokon Sanpō Ki (古今算法記), donde ofreció la primera exposición exhaustiva del álgebra china en Japón. La aplicó con éxito a problemas planteados por sus contemporáneos. Hasta entonces, estos problemas se habían resuelto mediante métodos aritméticos. Al final del libro, desafió a otros matemáticos con 15 nuevos problemas que requerían ecuaciones algebraicas de varias variables.

En 1674, Seki publicó Hatsubi Sanpō (発微算法), que proporciona soluciones a los 15 problemas. El método que utilizó se llama bōsho-hō . Introdujo el uso de kanji para representar incógnitas y variables en ecuaciones . Aunque era posible representar ecuaciones de grado arbitrario (una vez trató el grado 1458) con coeficientes negativos, no existían símbolos que correspondieran a paréntesis , igualdad o división . Por ejemplo,${\displaystyle ax+b}$también podría significar${\displaystyle ax+b=0}$Posteriormente, otros matemáticos mejoraron el sistema, y ​​al final llegó a ser tan expresivo como los desarrollados en Europa.

En su libro de 1674, sin embargo, Seki solo presentó ecuaciones de una variable resultantes de la eliminación, pero no explicó el proceso en absoluto, ni su nuevo sistema de símbolos algebraicos. La primera edición contenía algunos errores. Un matemático de la escuela de Hashimoto criticó la obra, afirmando que "solo tres de las quince soluciones son correctas". En 1678, Tanaka Yoshizane (田中 由真) , perteneciente a la escuela de Hashimoto y activo en Kioto , publicó Sanpō Meiki (算法明記), donde ofreció nuevas soluciones a los quince problemas de Sawaguchi, utilizando su propia versión del álgebra multivariable, similar a la de Seki. Para responder a las críticas, en 1685, Takebe Katahiro (建部 賢弘) , uno de los alumnos de Seki, publicó Hatsubi Sanpō Genkai (発微算法諺解), notas sobre Hatsubi Sanpō , en las que mostraba detalladamente el proceso de eliminación mediante símbolos algebraicos.

El efecto de la introducción del nuevo simbolismo no se limitó al álgebra. Gracias a él, los matemáticos de la época pudieron expresar resultados matemáticos de forma más general y abstracta. Se centraron en el estudio de la eliminación de variables.

En 1683, Seki impulsó la teoría de la eliminación , basada en resultantes , en el Kaifukudai no Hō (解伏題之法). Para expresar el resultante, desarrolló la noción de determinante . ^{[ 13 ]} Si bien en su manuscrito la fórmula para matrices de 5×5 es obviamente errónea, siendo siempre 0, en su publicación posterior, Taisei Sankei (大成算経), escrita entre 1683 y 1710 con Katahiro Takebe (建部 賢弘) y sus hermanos, aparece una fórmula correcta y general ( la fórmula de Laplace para el determinante).

Tanaka llegó a la misma idea de forma independiente. Una indicación apareció en su libro de 1678: algunas ecuaciones después de la eliminación son iguales al resultante. En Sanpō Funkai (算法紛解) (¿1690?), describió explícitamente el resultante y lo aplicó a varios problemas. En 1690, Izeki Tomotoki (井関 知辰) , un matemático activo en Osaka pero no en la escuela de Hashimoto, publicó Sanpō Hakki (算法発揮), en el que dio el resultante y la fórmula de Laplace del determinante para el caso n × n . Las relaciones entre estas obras no están claras. Seki desarrolló sus matemáticas en competencia con matemáticos en Osaka y Kioto, en el centro cultural de Japón.

En comparación con las matemáticas europeas, el primer manuscrito de Seki data de la época del primer comentario de Leibniz sobre el tema, que solo trataba matrices hasta el caso de 3x3. El tema cayó en el olvido en Occidente hasta que Gabriel Cramer lo retomó en 1750, impulsado por las mismas motivaciones. Étienne Bézout redescubrió en 1764 una teoría de eliminación equivalente a la forma wasan . La fórmula de Laplace no se estableció antes de 1750.

Con la teoría de la eliminación en mano, gran parte de los problemas tratados en la época de Seki se volvieron resolubles en principio, dada la tradición china de la geometría casi reducida al álgebra. En la práctica, el método podía fallar bajo una enorme complejidad computacional. Sin embargo, esta teoría tuvo una influencia significativa en la dirección del desarrollo del wasan . Después de completar la eliminación, queda encontrar numéricamente las raíces reales de una ecuación de una sola variable. El método de Horner, aunque bien conocido en China, no se transmitió a Japón en su forma final. Así que Seki tuvo que desarrollarlo por sí mismo de forma independiente. A veces se le atribuye el método de Horner, lo cual no es históricamente correcto. También sugirió una mejora al método de Horner: omitir términos de orden superior después de algunas iteraciones. Esta práctica resulta ser la misma que la del método de Newton-Raphson , pero con una perspectiva completamente diferente. Ni él ni sus alumnos tenían, estrictamente hablando, la idea de derivada .

Seki también estudió las propiedades de las ecuaciones algebraicas para ayudar en la solución numérica. Las más notables de estas son las condiciones para la existencia de raíces múltiples basadas en el discriminante , que es el resultante de un polinomio y su "derivada": Su definición de trabajo de "derivada" era el término O(h) en f ( x + h ), que se calculaba mediante el teorema del binomio .

Obtuvo algunas evaluaciones del número de raíces reales de una ecuación polinómica.

Otra de las contribuciones de Seki fue la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de pi ; obtuvo un valor para π que era correcto hasta la décima cifra decimal, utilizando lo que ahora se llama el proceso delta al cuadrado de Aitken , redescubierto en el siglo XX por Alexander Aitken .