Teorema de descomposición opcional de Kramkov

En teoría de la probabilidad , el teorema de descomposición opcional de Kramkov (o simplemente teorema de descomposición opcional ) es un teorema matemático sobre la descomposición de una supermartingala positiva.${\displaystyle V}$con respecto a una familia de medidas de martingala equivalentes en la forma

${\displaystyle V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0,}$

dónde${\displaystyle C}$es un proceso adaptado (u opcional ).

El teorema es de particular interés para las matemáticas financieras , donde la interpretación es:${\displaystyle V}$es el proceso de riqueza de un comerciante ,${\displaystyle (H\cdot X)}$es la ganancia/pérdida y${\displaystyle C}$el proceso de consumo.

El teorema fue demostrado en 1994 por el matemático ruso Dmitry Kramkov . ^{[ 1 ]} El teorema recibe su nombre de la descomposición de Doob-Meyer, pero a diferencia de esta, el proceso${\displaystyle C}$ya no es predecible sino solo adaptado (lo cual, bajo la condición de la declaración, es lo mismo que tratar con un proceso opcional ).

Dejar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\{{\mathcal {F}}_{t}\},P)}$sea ​​un espacio de probabilidad filtrado con la filtración que satisface las condiciones usuales .

A${\displaystyle d}$proceso dimensional${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{d})}$está localmente acotada si existe una secuencia de tiempos de parada.${\displaystyle (\tau _ {n})_ {n\geq 1}}$de tal manera que${\displaystyle \tau _{n}\to \infty }$casi con seguridad si${\displaystyle n\to \infty }$y${\displaystyle |X_{t}^{i}|\leq n}$para${\displaystyle 1\leq i\leq d}$y${\displaystyle t\leq \tau _{n}}$.