Polinomios de Kravchuk

Los polinomios de Kravchuk o polinomios de Krawtchouk (también escritos utilizando varias otras transliteraciones del apellido ucraniano Кравчу́к ) son polinomios ortogonales discretos asociados con la distribución binomial , introducidos por Mykhailo Kravchuk ( 1929 ) . Los primeros polinomios son (para q = 2):

{\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,

{\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,

{\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},

{\mathcal {K}}_{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.

Los polinomios de Kravchuk son un caso especial de los polinomios de Meixner de primera especie.

Definición

Para cualquier potencia prima q y entero positivo n , definimos el polinomio de Kravchuk. ${\begin{aligned}{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}}\\={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\frac {x^{\underline {j}}}{j!}}{\frac {(nx)^{\underline {kj}}}{(kj)!}}\end{aligned}}$ para $k=0,1,\ldots ,n$ . En la segunda línea, los factores que dependen de $x$ Se han reescrito en términos de factoriales descendentes , para ayudar a los lectores que se sienten incómodos con los argumentos no enteros de los coeficientes binomiales.

Propiedades

El polinomio de Kravchuk tiene las siguientes expresiones alternativas:

{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.

{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.

Nótese que hay más que una simple recombinación de material de los dos coeficientes binomiales que separan estos de la definición anterior. En estas fórmulas, solo un término de la suma tiene grado $k$ , mientras que en la definición todos los términos tienen grado $k$ .

Relaciones de simetría

Para números enteros $i,k\geq 0$ , tenemos eso

{\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}

Relaciones de ortogonalidad

Para enteros no negativos r , s ,

\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.

Función generadora

La serie generadora de los polinomios de Kravchuk se presenta a continuación. $z$ es una variable formal.

{\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}

Recurrencia a tres términos

Los polinomios de Kravchuk satisfacen la relación de recurrencia de tres términos.

{\begin{aligned}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(nk){\mathcal {K}}_{k+1}(x;n,q)+(q(nk)+k(1-q)){\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}}_{k-1}(x;n,q).\end{aligned}}

Véase también

Referencias

Kravchuk, M. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite". , Comptes Rendus Mathématique (en francés), 189 : 620–622 , JFM 55.0799.01
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
Nikiforov, AF; Suslov, SK; Uvarov, VB (1991), Polinomios ortogonales clásicos de una variable discreta , Springer Series in Computational Physics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7, MR 1149380 .
Levenshtein, Vladimir I. (1995), "Polinomios de Krawtchouk y límites universales para códigos y diseños en espacios de Hamming", IEEE Transactions on Information Theory , 41 (5): 1303– 1321, doi : 10.1109/18.412678 , MR 1366326 .
MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1977), La teoría de los códigos correctores de errores , North-Holland, ISBN 0-444-85193-3

Enlaces externos

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"Polinomio de Krawtchouk" en MathWorld