La condición de Krein

En análisis matemático , la condición de Krein proporciona una condición necesaria y suficiente para las sumas exponenciales.

${\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0\right\},}$

ser denso en un espacio _L2 ponderado en la recta real. Fue descubierto por Mark Krein en la década de 1940. ^{[ 1 ]} Un corolario, también llamado condición de Krein, proporciona una condición suficiente para la indeterminación del problema del momento . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Sea μ una medida absolutamente continua en la recta real, d μ ( x ) = f ( x ) d x . Las sumas exponenciales 

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0}$

son densos en L ₂ ( μ ) si y solo si

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\infty .}$

Sea μ como se indicó anteriormente; supongamos que todos los momentos

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

de μ son finitos. Si

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }$

Si se cumple, entonces el problema del momento de Hamburger para μ es indeterminado; es decir, existe otra medida ν  ≠ μ en R tal que 

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\nu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

Esto se puede derivar de la parte "solo si" del teorema de Krein anterior. ^{[ 4 ]}