Espacio de producto interno indefinido

En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un espacio de producto interno indefinido

${\displaystyle (K,\langle \cdot,\,\cdot \rangle,J)}$

es un espacio vectorial complejo de dimensión infinita${\displaystyle K}$equipado con un producto interno indefinido

${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle \,}$

y un producto interno semidefinido positivo

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle ,}$

donde el operador métrico${\displaystyle J}$es un endomorfismo de${\displaystyle K}$obedecer

${\displaystyle J^{3}=J.\,}$

El espacio de producto interno indefinido en sí mismo no es necesariamente un espacio de Hilbert ; pero la existencia de un producto interno semidefinido positivo en${\displaystyle K}$Esto implica que se puede formar un espacio cociente con un producto interno definido positivo. Dada una topología suficientemente fuerte en este espacio cociente, este tiene la estructura de un espacio de Hilbert, y muchos objetos de interés en aplicaciones típicas se encuentran dentro de este espacio cociente.

Un espacio de producto interno indefinido se llama espacio de Krein (o${\displaystyle J}$-espacio ) si${\displaystyle (x,\,y)}$es definido positivo y${\displaystyle K}$Posee una topología mayorante . Los espacios de Krein reciben su nombre en honor al matemático soviético Mark Grigorievich Krein .

Consideremos un espacio vectorial complejo${\displaystyle K}$equipado con una forma ermitaña indefinida${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$En la teoría de los espacios de Krein, es común llamar a dicha forma hermitiana producto interno indefinido . Los siguientes subconjuntos se definen en términos de la norma cuadrada inducida por el producto interno indefinido:

${\displaystyle K_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle =0\}}$("neutral")

${\displaystyle K_{++}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle >0\}}$("positivo")

${\displaystyle K_{--}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle <0\}}$("negativo")

${\displaystyle K_{+0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{++}\cup K_{0}}$("no negativo")

${\displaystyle K_{-0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{--}\cup K_{0}}$("no positivo")

Un subespacio${\displaystyle L\subset K}$acostado dentro${\displaystyle K_{0}}$se denomina subespacio neutro . De manera similar, un subespacio que se encuentra dentro de${\displaystyle K_{+0}}$(${\displaystyle K_{-0}}$) se denomina semidefinido positivo ( negativo ) y un subespacio que se encuentra dentro de${\displaystyle K_{++}\taza \{0\}}$(${\displaystyle K_{--}\taza \{0\}}$) se denomina definido positivo ( negativo ) . Un subespacio en cualquiera de las categorías anteriores puede denominarse semidefinido , y cualquier subespacio que no sea semidefinido se denomina indefinido .

Supongamos que nuestro espacio de producto interno indefinido también está equipado con una descomposición en un par de subespacios.${\displaystyle K=K_{+}\oplus K_{-}}$, llamada descomposición fundamental , que respeta la estructura compleja en${\displaystyle K}$Por lo tanto, los operadores de proyección lineal correspondientes${\displaystyle P_{\pm }}$coincidir con la identidad en${\displaystyle K_{\pm }}$y aniquilar${\displaystyle K_{\mp }}$y conmutan con la multiplicación por el${\displaystyle i}$de la estructura compleja. Si esta descomposición es tal que${\displaystyle K_{+}\subset K_{+0}}$y${\displaystyle K_{-}\subset K_{-0}}$, entonces${\displaystyle K}$se denomina espacio de producto interno indefinido ; si${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm \pm }\cup \{0\}}$, entonces${\displaystyle K}$se denomina espacio de Krein , sujeto a la existencia de una topología mayorante en${\displaystyle K}$(una topología localmente convexa donde el producto interno es conjuntamente continuo).

El operador${\displaystyle J\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ P_{+}-P_{-}}$Se denomina operador métrico (de fase real) o simetría fundamental , y puede utilizarse para definir el producto interno de Hilbert.${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$:

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle =\langle x,\,P_{+}y\rangle -\langle x,\,P_{-}y\rangle }$

En un espacio de Krein, el producto interno de Hilbert es definido positivo, lo que da como resultado${\displaystyle K}$la estructura de un espacio de Hilbert (bajo una topología adecuada). Bajo la restricción más débil${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm 0}}$, algunos elementos del subespacio neutro${\displaystyle K_{0}}$aún pueden ser neutrales en el producto interno de Hilbert, pero muchos no lo son. Por ejemplo, los subespacios${\displaystyle K_{0}\cap K_{\pm }}$son parte del subespacio neutro del producto interno de Hilbert, porque un elemento${\displaystyle k\in K_{0}\cap K_{\pm }}$obedece${\displaystyle (k,\,k)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle k,\,Jk\rangle =\pm \langle k,\,k\rangle =0}$. Pero un elemento${\displaystyle k=k_{+}+k_{-}}$(${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$) que resulta estar en${\displaystyle K_{0}}$porque${\displaystyle \langle k_{-},\,k_{-}\rangle =-\langle k_{+},\,k_{+}\rangle }$tendrá una norma cuadrada positiva bajo el producto interno de Hilbert.

Observamos que la definición del producto interno indefinido como una forma hermitiana implica que:

${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\langle x+y,\,x+y\rangle -\langle xy,\,xy\rangle )}$

(Nota: Esto no es correcto para las formas hermíticas de valores complejos. Solo da la parte real.) Por lo tanto, el producto interno indefinido de cualesquiera dos elementos${\displaystyle x,\,y\in K}$que se diferencian únicamente por un elemento${\displaystyle xy\in K_{0}}$es igual a la norma al cuadrado de su promedio${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$. En consecuencia, el producto interno de cualquier elemento distinto de cero${\displaystyle k_{0}\in (K_{0}\cap K_{\pm })}$con cualquier otro elemento${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$debe ser cero, de lo contrario deberíamos poder construir algo${\displaystyle k_{\pm }+2\lambda k_{0}}$cuyo producto interno con${\displaystyle k_{\pm }}$tiene el signo incorrecto para ser la norma cuadrada de${\displaystyle k_{\pm }+\lambda k_{0}\in K_{\pm }}$.

Argumentos similares sobre el producto interno de Hilbert (que se puede demostrar que es una forma hermitiana, justificando así el nombre de "producto interno") llevan a la conclusión de que su espacio neutro es precisamente${\displaystyle K_{00}=(K_{0}\cap K_{+})\oplus (K_{0}\cap K_{-})}$, que los elementos de este espacio neutro tienen producto interno de Hilbert cero con cualquier elemento de${\displaystyle K}$y que el producto interno de Hilbert es semidefinido positivo. Por lo tanto, induce un producto interno definido positivo (también denotado${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$) en el espacio cociente${\displaystyle {\tilde {K}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K/K_{00}}$, que es la suma directa de${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{\pm }/(K_{0}\cap K_{\pm })}$. De este modo${\displaystyle ({\tilde {K}},\,(\cdot ,\,\cdot ))}$es un espacio de Hilbert (dada una topología adecuada).

Los espacios de Krein surgen de forma natural en situaciones donde el producto interno indefinido posee una propiedad analíticamente útil (como la invariancia de Lorentz ) de la que carece el producto interno de Hilbert. También es común que uno de los dos productos internos, generalmente el indefinido, esté definido globalmente en una variedad y el otro dependa de las coordenadas y, por lo tanto, esté definido solo en una sección local.

En muchas aplicaciones el producto interno semidefinido positivo${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$depende de la descomposición fundamental elegida, que, en general, no es única. Pero se puede demostrar (por ejemplo, véase la Proposición 1.1 y 1.2 en el artículo de H. Langer más adelante) que cualesquiera dos operadores métricos${\displaystyle J}$y${\displaystyle J^{\prime }}$compatible con el mismo producto interno indefinido en${\displaystyle K}$resultado en espacios de Hilbert${\displaystyle {\tilde {K}}}$y${\displaystyle {\tilde {K}}^{\prime }}$cuyas descomposiciones${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }}$y${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }^{\prime }}$tienen dimensiones iguales. Aunque los productos internos de Hilbert en estos espacios cociente no coinciden en general, inducen normas cuadradas idénticas, en el sentido de que las normas cuadradas de las clases de equivalencia${\displaystyle {\tilde {k}}\in {\tilde {K}}}$y${\displaystyle {\tilde {k}}^{\prime }\in {\tilde {K}}^{\prime }}$en el cual un dado${\displaystyle k\in K}$si son iguales. Todas las nociones topológicas en un espacio de Krein, como la continuidad , la cerrazón de conjuntos y el espectro de un operador en${\displaystyle {\tilde {K}}}$, se entienden con respecto a esta topología de espacio de Hilbert .

Dejar${\displaystyle L}$,${\displaystyle L_{1}}$,${\displaystyle L_{2}}$sean subespacios de${\displaystyle K}$. El subespacio${\displaystyle L^{[\perp ]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,y\rangle =0}$a pesar de${\displaystyle y\in L\}}$se llama el compañero ortogonal de${\displaystyle L}$, y${\displaystyle L^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L\cap L^{[\perp ]}}$es la parte isotrópica de${\displaystyle L}$. Si${\displaystyle L^{0}=\{0\}}$,${\displaystyle L}$se denomina no degenerado ; de lo contrario es degenerado . Si${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =0}$a pesar de${\displaystyle x\in L_{1},\,\,y\in L_{2}}$, entonces se dice que los dos subespacios son ortogonales , y escribimos${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$. Si${\displaystyle L=L_{1}+L_{2}}$dónde${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$, escribimos${\displaystyle L=L_{1}[+]L_{2}}$. Si, además, se trata de una suma directa , escribimos${\displaystyle L=L_{1}[{\dot {+}}]L_{2}}$.

Si${\displaystyle \kappa$ :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty } , el espacio de Kerin ${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$se denomina espacio de Pontryagin o${\displaystyle \Pi _{\kappa }}$- espacio . (Convencionalmente, al producto interno indefinido se le da el signo que hace que${\displaystyle \dim K_{+}}$finito.) En este caso${\displaystyle \dim K_{+}}$se conoce como el número de cuadrados positivos de${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$Los espacios Pontryagin reciben su nombre en honor a Lev Semenovich Pontryagin .

Un operador simétrico A en un espacio de producto interno indefinido K con dominio K se llama operador de Pesonen si ( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) implica x = 0.

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