teoría de conjuntos de Kripke-Platek

Si algún conjunto${\displaystyle c}$Se postula que existe, como en el axioma del infinito, entonces el axioma del conjunto vacío es redundante porque es igual al subconjunto${\displaystyle \{x\in c\mid x\neq x\}}$. Además, la existencia de un miembro en el universo del discurso, es decir, ∃x(x=x), está implícita en ciertas formulaciones ^{[ 1 ]} de la lógica de primer orden , en cuyo caso el axioma del conjunto vacío se deduce del axioma de Δ ₀ -separación, y por lo tanto es redundante.

Como se ha señalado, los axiomas anteriores son, en conjunto, más débiles que los de ZFC, ya que excluyen el axioma del conjunto potencia , la elección y, en ocasiones, el infinito. Asimismo, los axiomas de separación y colección aquí son más débiles que los axiomas correspondientes en ZFC, puesto que las fórmulas φ utilizadas en estos se limitan únicamente a cuantificadores acotados.

El axioma de inducción en el contexto de KP es más fuerte que el axioma de regularidad habitual , que equivale a aplicar la inducción al complemento de un conjunto (la clase de todos los conjuntos que no están en el conjunto dado).

Se podría añadir un axioma de finitud que negara la existencia de conjuntos infinitos. Esto equivaldría a decir que el universo es V _ω . Esto podría hacerse afirmando que todo conjunto tiene una inyección a un número natural (ordinal finito). En lenguaje formal:

${\displaystyle \forall s\exists n\exists f(\exists k\in n(n=k\cup \{k\})\,\land \,\forall m\in n[m=0\,\lor \,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})]\,\land \,\forall t\in s\exists k\in n(\langle t,k\rangle \in f)\,\land \,\forall t\in s\forall u\in s(\exists k\in n[\langle t,k\rangle \in f\,\land \,\langle u,k\rangle \in f]\,\implies \,t=u)).}$

Un punto clave aquí es identificar los números naturales sin referirnos a ω , que es uno de los conjuntos infinitos que estamos tratando de negar. Un número natural es un conjunto que es vacío o sucesor, y por lo tanto no es un límite, y cuyos elementos también son números naturales. Los elementos de f son pares ordenados . Véase también el axioma de limitación de tamaño . Este axioma es Π _2. Implica el axioma de elección (dado un conjunto de conjuntos no vacíos; aplicar esto a su unión; luego asignar a cada conjunto su elemento con el valor más pequeño de f ).

El ordinal α es admisible si y solo si α es un ordinal límite y no existe un γ  < α para el cual exista una función Σ ₁ (L _α ) que mapee γ sobre α . Si M es un modelo estándar de KP, entonces el conjunto de ordinales en M es un ordinal admisible. 

Teorema: Si A y B son conjuntos, entonces existe un conjunto A × B que consta de todos los pares ordenados ( a , b ) de elementos a de A y b de B.

Prueba:

El conjunto unitario con elemento a , escrito { a }, es el mismo que el par no ordenado { a , a }, por el axioma de extensionalidad .

El conjunto unitario, el conjunto { a , b }, y también el par ordenado.

${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

Todos existen por emparejamiento . Una posible fórmula Δ ₀${\displaystyle \psi (a,b,p)}$expresar que p representa el par ( a , b ) viene dado por la larga

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.}$

A continuación se describen dos pasos para la recopilación de conjuntos, seguidos de una restricción mediante separación. Todos los resultados se expresan utilizando la notación de construcción de conjuntos.

En primer lugar, dado${\displaystyle b}$y recaudando con respecto a${\displaystyle A}$, algún superconjunto de${\displaystyle A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}}$existe por colección .

La fórmula Δ ₀

${\displaystyle \exists a\in A\,\psi (a,b,p)}$

subvenciones que simplemente${\displaystyle A\times \{b\}}$existe por separación .

Si${\displaystyle P}$debería representar esta colección de pares${\displaystyle A\times \{b\}}$, entonces una fórmula Δ ₀ que lo caracteriza es

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

Dado${\displaystyle A}$y recaudando con respecto a${\displaystyle B}$, algún superconjunto de${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$existe por colección .

Puesta${\displaystyle \exists b\in B}$frente a esa última fórmula y uno encuentra el conjunto${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$existe por separación .

Finalmente, el deseado

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

Existe por unión . QED

La contención transitiva es el principio de que todo conjunto está contenido en algún conjunto transitivo . No se cumple en ciertas teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Zermelo (aunque su inclusión como axioma no añade fuerza de consistencia ^{[ 2 ]} ).

Teorema: Si A es un conjunto, entonces existe un conjunto transitivo B tal que A es un miembro de B.

Prueba:

Procedemos por inducción sobre la fórmula:

${\displaystyle \phi (A):=\exists B(A\in B\land \bigcup B\subseteq B)}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \bigcup B\subseteq B}$es otra forma de expresar que B es transitivo.

La hipótesis inductiva nos informa entonces que

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists b(a\in b\land \bigcup b\subseteq b)}$.

Si${\displaystyle a\notin A}$, luego establecemos${\displaystyle b=\{\}}$lo cual es transitivo.

Por colección Δ ₀ , tenemos:

${\displaystyle \exists C\,\forall a\in A\,\exists b\in C(a\in b\land \bigcup b\subseteq b)}$

Por separación Δ ₀ , el conjunto${\displaystyle \{c\in C\mid \bigcup c\subseteq c\}}$existe, cuya unión llamamos D.

Ahora bien, D es una unión de conjuntos transitivos y, por lo tanto, es transitivo en sí mismo. Y dado que${\displaystyle A\subseteq D}$, lo sabemos${\displaystyle D\cup \{A\}}$También es transitivo y, además, contiene A , como se requiere. QED

En KPω, podemos demostrar la existencia de un conjunto de todos los números naturales pares. Un número par es cero o el sucesor del sucesor de un número par (o un ordinal límite). El conjunto de números pares hasta una etapa finita se puede construir usando el conjunto nulo, el emparejamiento y la unión. Del axioma del infinito, obtenemos la existencia de ω y su elemento 2 = {0, 1}. Aplicamos el axioma de la fundación para obtener una función que da ( k módulo 2) para k ≤ n para cada n en ω. Luego usamos la colección Δ ₀ para enviar ⟨ n , 0 ⟩ a n y todo lo demás a 0. Usamos la separación Δ ₀ y la función módulo 2 para eliminar cualquier elemento extraño. Esto nos deja con el conjunto de los números naturales pares.

${\displaystyle \varphi (n)\equiv \exists f((n\notin \omega \implies \langle 0,0\rangle \in f)\land (n\in \omega \implies \exists v\in 2\langle n,v\rangle \in f)\land \forall \langle k,v\rangle \in f((k=0\land v=0)\lor \exists j\in k\exists u\in 2(u\neq v\land k=j\cup \{j\}\land \langle j,u\rangle \in f))).}$

Consideremos cualquier conjunto x . Supongamos que φ ( y ) se cumple para todos los elementos y en x . Si x no está en ω, sea f = { ⟨0 , 0⟩ } = {{{{}}}}, que existe por los axiomas de conjunto nulo y emparejamiento. De igual modo, si x = 0. Si x es un número natural distinto de cero, entonces es el sucesor de algún número natural m que es un elemento de x . Por lo tanto , φ ( m ) se cumple y podemos tomar g como la función cuya existencia está asegurada por eso. Entonces hay algún u en 2 tal que ⟨m , u⟩ está en g . Sea v el elemento de 2 distinto de u . Sea f = g ∪ { ⟨x , v⟩ }. Entonces f será una función que satisface φ ( x ) . Así, por el axioma de inducción, sabemos que φ ( x ) se cumple para todos los conjuntos x . Los segmentos iniciales de la función módulo 2 se identifican mediante:

${\displaystyle \operatorname {segmod2} (f)\equiv \forall p\in f\exists k\in \omega \exists v\in 2(p=\langle k,v\rangle \land [(k=0\land v=0)\lor \exists j\in k\exists u\in 2(u\neq v\land k=j\cup \{j\}\land \langle j,u\rangle \in f)]).}$