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Articulo de referencia

El lema de Kronecker

En matemáticas , el lema de Kronecker (véase, por ejemplo, Shiryaev (1996 , Lema IV.3.2) ) es un resultado sobre la relación entre la convergencia de sumas infinitas y la conver...

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En matemáticas , el lema de Kronecker (véase, por ejemplo, Shiryaev (1996 , Lema IV.3.2) ) es un resultado sobre la relación entre la convergencia de sumas infinitas y la convergencia de sucesiones. El lema se utiliza frecuentemente en las demostraciones de teoremas sobre sumas de variables aleatorias independientes, como la ley fuerte de los grandes números . El lema recibe su nombre del matemático alemán Leopold Kronecker .

El lema

Si(incógnitanorte)norte=1∞{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}es una sucesión infinita de números reales tal que

∑metro=1∞incógnitametro=s{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}

existe y es finito, entonces tenemos para todo0<b1≤b2≤b3≤…{\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }ybnorte→∞{\displaystyle b_{n}\to \infty }eso

límitenorte→∞1bnorte∑k=1nortebkincógnitak=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}

Prueba

DejarSk{\displaystyle S_{k}}denotemos las sumas parciales de las x' . Usando la suma por partes ,

1bnorte∑k=1nortebkincógnitak=Snorte−1bnorte∑k=1norte−1(bk+1−bk)Sk{\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}

Escoge cualquier ε > 0. Ahora elige N de modo queSk{\displaystyle S_{k}}es ε -cercano a s para k > N. Esto se puede hacer como la secuenciaSk{\displaystyle S_{k}}converge a s . Entonces el lado derecho es:

Snorte−1bnorte∑k=1norte−1(bk+1−bk)Sk−1bnorte∑k=nortenorte−1(bk+1−bk)Sk{\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}
=Snorte−1bnorte∑k=1norte−1(bk+1−bk)Sk−1bnorte∑k=nortenorte−1(bk+1−bk)s−1bnorte∑k=nortenorte−1(bk+1−bk)(Sk−s){\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}
=Snorte−1bnorte∑k=1norte−1(bk+1−bk)Sk−bnorte−bnortebnortes−1bnorte∑k=nortenorte−1(bk+1−bk)(Sk−s).{\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}

Ahora, hagamos que n tienda a infinito. El primer término tiende a s , que se cancela con el tercer término. El segundo término tiende a cero (ya que la suma es un valor fijo). Dado que la secuencia b es creciente, el último término está acotado porϵ(bnorte−bnorte)/bnorte≤ϵ{\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }.

Referencias

  • Shiryaev, Albert N. (1996). Probabilidad (2.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.