delta de Kronecker

En matemáticas , la delta de Kronecker (llamada así en honor a Leopold Kronecker ) es una función de dos variables , generalmente números enteros no negativos . La función es 1 si las variables son iguales y 0 en caso contrario. $\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{si }}i\neq j,\\1&{\text{si }}i=j.\end{cases}}$ o con el uso de corchetes Iverson : $\delta _{ij}=[i=j]\,$ Por ejemplo, $\delta _{12}=0$ porque $1\neq 2$ , mientras $\delta _{33}=1$ porque $3=3$ .

La delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática, como una manera de expresar de forma compacta su definición anterior. Versiones generalizadas de la delta de Kronecker han encontrado aplicaciones en la geometría diferencial y el cálculo tensorial moderno, particularmente en formulaciones de la teoría de gauge y modelos de campos topológicos. ^{[ 1 ]}

En álgebra lineal , el $n\times n$ matriz identidad $\mathbf {I}$ tiene entradas iguales al delta de Kronecker: $I_{ij}=\delta _{ij}$ dónde $i$ y $j$ tomar los valores $1,2,\cdots ,n$ y el producto interno de vectores se puede escribir como $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$ Aquí, los vectores euclidianos se definen como $n$ -tuplas: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ y $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ y el último paso se obtiene utilizando los valores del delta de Kronecker para reducir la suma sobre $j$ .

Es común que $i$ y $j$ estén restringidos a un conjunto de la forma ${1, 2, ..., n}$ o ${0, 1, ..., n - 1}$ , pero la delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.

Propiedades

Se cumplen las siguientes ecuaciones: ${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$ Por lo tanto, la matriz $δ$ puede considerarse como una matriz identidad.

Otra representación útil es la siguiente forma: $\delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}$ Esto se puede derivar utilizando la fórmula de la serie geométrica .

Notación alternativa

Utilizando el corchete de Iverson : $\delta _{ij}=[i=j].$

A menudo, una notación de un solo argumento $\delta _{i}$ se utiliza, lo cual es equivalente a establecer $j=0$ : $\delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{si }}i\neq 0\\1,&{\text{si }}i=0\end{cases}}$

En álgebra lineal , se puede pensar en él como un tensor y se escribe $\delta _{j}^{i}$ A veces, la delta de Kronecker se denomina tensor de sustitución. ^{[ 2 ]}

Cuando la yuxtaposición crea ambigüedad, a menudo se emplea una coma. Por ejemplo, una coma separa dos números enteros en ⁠ $\delta _{19,20}$ .

Procesamiento digital de señales

En el estudio del procesamiento digital de señales (DSP), la función delta de Kronecker a veces significa la función de muestra unitaria. $\delta [n]$ , que representa un caso especial de la función delta de Kronecker bidimensional $\delta _{ij}$ donde los índices de Kronecker incluyen el número cero, y donde uno de los índices es cero: $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{donde}}-\infty <n<\infty$

O, de forma más general, dónde: $\delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{donde}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty$

Para señales de tiempo discreto, es convencional colocar un único índice entero entre corchetes; en contraste con la delta de Kronecker, $\delta _{ij}$ , puede tener cualquier número de índices. En la teoría de sistemas LTI , la función de muestra unitaria discreta se utiliza típicamente como entrada a un sistema de tiempo discreto para determinar la función de respuesta impulsional del sistema que caracteriza al sistema para cualquier entrada general. En contraste, el propósito típico de la función delta de Kronecker es filtrar términos de una convención de suma de Einstein .

La función de muestreo unitario discreto se define de forma más sencilla como: $\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ es otro número entero}}\end{cases}}$

En comparación, en los sistemas de tiempo continuo , la función delta de Dirac se confunde a menudo tanto con la función delta de Kronecker como con la función de muestra unitaria. La delta de Dirac se define como: ${\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}$

A diferencia de la función delta de Kronecker $\delta _{ij}$ y la función de muestra unitaria $\delta [n]$ la función delta de Dirac $\delta (t)$ no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero $t$ .

En sistemas de tiempo continuo, el término " función de impulso unitario " se utiliza para referirse a la función delta de Dirac. $\delta (t)$ o, en sistemas de tiempo discreto, la función delta de Kronecker. $\delta [n]$ .

Propiedades notables

El delta de Kronecker tiene la llamada propiedad de tamizado que para $j\in \mathbb {Z}$ : $\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$ y si los enteros se consideran como un espacio de medida , dotado de la medida de conteo , entonces esta propiedad coincide con la propiedad definitoria de la función delta de Dirac. $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (xy)f(x)\,dx=f(y),$ y de hecho la delta de Dirac recibió su nombre de la delta de Kronecker debido a esta propiedad análoga. ^{[ 3 ]} En el procesamiento de señales, generalmente es el contexto (tiempo discreto o continuo) lo que distingue las "funciones" de Kronecker y Dirac. Y por convención, $\delta (t)$ generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como $i$ , $j$ , $k$ , $l$ , $m$ , y $n$ Por lo general, se reservan para el tiempo discreto (Kronecker). Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; así: $\delta [n]$ La delta de Kronecker no es el resultado de muestrear directamente la función delta de Dirac.

La delta de Kronecker forma el elemento identidad multiplicativo de un álgebra de incidencia . ^{[ 4 ]}

La delta de Kronecker es una función recursiva elemental .

Relación con la función delta de Dirac

En teoría de la probabilidad y estadística , tanto la función delta de Kronecker como la función delta de Dirac pueden usarse para representar una distribución discreta . Si el soporte de una distribución consta de puntos $\mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}$ , con probabilidades correspondientes $p_{1},\cdots ,p_{n}$ , entonces la función de masa de probabilidad $p(x)$ de la distribución sobre $\mathbf {x}$ se puede escribir, usando la delta de Kronecker, como $p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.$

De forma equivalente, la función de densidad de probabilidad $f(x)$ La distribución se puede escribir utilizando la función delta de Dirac como $f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$

En determinadas condiciones, la función delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso de la función delta de Dirac se produce exactamente en un punto de muestreo y se filtra idealmente con un filtro de paso bajo (con una frecuencia de corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , la señal discreta resultante será una función delta de Kronecker.

Generalizaciones

Si se considera como un tipo $(1,1)$ tensor , el tensor de Kronecker se puede escribir $\delta _{j}^{i}$ con un índice covariante $j$ y el índice contravariante $i$ : $\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$

Este tensor representa:

La aplicación identidad (o matriz identidad), considerada como una aplicación lineal $V\to V$ o $V^{*}\a V^{*}$
La traza o contracción tensorial , considerada como una aplicación $V^{*}\otimes V\to K$
El mapa $K\to V^{*}\otimes V$ , representando la multiplicación escalar como una suma de productos externos .

Eldelta de Kronecker generalizada odelta de Kronecker multiíndicede orden $2p$ es un tipo $(p,p)$ tensor que es completamente antisimétrico en su $p$ índices superiores, y también en su $p$ índices más bajos.

Dos definiciones que difieren por un factor de $p!$ están en uso. A continuación, se presenta la versión que tiene componentes distintos de cero escalados a $\pm 1$ . La segunda versión tiene componentes distintos de cero que son $\pm 1/p!$ , con los consiguientes cambios en los factores de escala en las fórmulas, como los factores de escala de $1/p!$ en § Propiedades de la delta de Kronecker generalizada por debajo de la desaparición . ^{[ 5 ]}

Definiciones de la delta de Kronecker generalizada

En términos de los índices, el delta de Kronecker generalizado se define como: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}$

Dejar $\mathrm {S} _{p}$ sea el grupo simétrico de grado $p$ , entonces: $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$

Utilizando la antisimetrización : $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.$

En términos de un $p\times p$ determinante : ^{[ 8 ]} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.$

Utilizando la expansión de Laplace ( fórmula de Laplace ) del determinante, se puede definir recursivamente : ^{[ 9 ]} ${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}$ donde el caron, ${\check {}}$ , indica un índice que se omite en la secuencia.

Cuando $p=n$ (la dimensión del espacio vectorial), en términos del símbolo de Levi-Civita : $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.$ En términos más generales, para $m=n-p$ , utilizando la convención de suma de Einstein : $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.$

Contracciones de la delta de Kronecker generalizada

Las contracciones delta de Kronecker dependen de la dimensión del espacio. Por ejemplo, $\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},$ donde $d$ es la dimensión del espacio. A partir de esta relación, se obtiene el delta contraído completo como $\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).$ La generalización de las fórmulas anteriores es $\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.$

Propiedades de la delta de Kronecker generalizada

La delta de Kronecker generalizada puede utilizarse para la antisimetrización : ${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}$

A partir de las ecuaciones anteriores y las propiedades de los tensores antisimétricos , podemos derivar las propiedades de la delta de Kronecker generalizada: ${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}$ que son la versión generalizada de las fórmulas escritas en § Propiedades . La última fórmula es equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet .

La reducción del orden mediante la suma de los índices puede expresarse mediante la identidad ^{[ 10 ].} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.$

Utilizando ambas reglas de suma para el caso $p=n$ y la relación con el símbolo de Levi-Civita, se deriva la regla de suma del símbolo de Levi-Civita : $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.$ La versión 4D de la última relación aparece en el enfoque espinorial de Penrose a la relatividad general ^{[ 11 ]} que luego generalizó, mientras desarrollaba los diagramas de Aitken, ^{[ 12 ]} para convertirse en parte de la técnica de notación gráfica de Penrose . ^{[ 13 ]} Además, esta relación se usa ampliamente en teorías de dualidad S , especialmente cuando se escribe en el lenguaje de formas diferenciales y duales de Hodge .

Representaciones integrales

Para cualquier número entero $j$ y $k$ La delta de Kronecker se puede expresar como una integral de contorno compleja mediante un cálculo de residuos estándar . La integral se toma sobre el círculo unitario en el plano complejo , orientado en sentido antihorario. Una representación equivalente de la integral surge al parametrizar el contorno mediante un ángulo alrededor del origen. $\delta _{jk}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{j-k-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(j-k)\varphi }\,d\varphi$

peine de Kronecker

La función del peine Kronecker con período $N$ se define (utilizando la notación DSP ) como: $\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],$ dónde $N\neq 0$ , $k$ y $n$ son enteros. El peine de Kronecker consiste, por lo tanto, en una serie infinita de impulsos unitarios separados por $N$ unidades, alineados de manera que uno de los impulsos se produce en cero. Puede considerarse el análogo discreto del peine de Dirac .

Véase también

Referencias

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↑Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
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[1] Nakahara, Mikio (2003). Geometry, Topology and Physics. CRC Press. ISBN 9780750306065.

[Trowbridge-2] Trowbridge, J. H. (1998). "On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves". Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. 15 (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. doi:10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2.

[3] Dirac, Paul (1930). The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.). Oxford University Press. ISBN 9780198520115.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

[4] Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence Algebras, Pure and Applied Mathematics, vol. 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8.

[5] Pope, Christopher (2008). "Geometry and Group Theory"(PDF).

[6] Frankel, Theodore (2012). The Geometry of Physics: An Introduction (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107602601.

[7] Agarwal, D. C. (2007). Tensor Calculus and Riemannian Geometry (22nd ed.). Krishna Prakashan Media.

[8] Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.

[9] A recursive definition requires a first case, which may be taken as $δ = 1$ for $p = 0$ , or alternatively $δ μ ν = δ μ ν$ for $p = 1$ (generalized delta in terms of standard delta).

[10] Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.

[11] Penrose, Roger (June 1960). "A spinor approach to general relativity". Annals of Physics. 10 (2): 171–201. Bibcode:1960AnPhy..10..171P. doi:10.1016/0003-4916(60)90021-X.

[12] Aitken, Alexander Craig (1958). Determinants and Matrices. UK: Oliver and Boyd.

[13] Roger Penrose , "Aplicaciones de tensores de dimensión negativa", en Matemáticas combinatorias y sus aplicaciones , Academic Press (1971).

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