Teorema de Krull-Schmidt

En matemáticas , el teorema de Krull-Schmidt establece que un grupo sujeto a ciertas condiciones de finitud en cadenas de subgrupos puede escribirse de forma única como un producto directo finito de subgrupos indescomponibles.

Decimos que un grupo G satisface la condición de cadena ascendente (CCA) en subgrupos si toda secuencia de subgrupos de G :

${\displaystyle 1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,}$

es eventualmente constante, es decir, existe N tal que G _N = G _{N +1} = G _{N +2}  =  ...  . Decimos que G satisface la ACC en subgrupos normales si toda secuencia de subgrupos normales de G de este tipo se vuelve eventualmente constante.

Asimismo, se puede definir la condición de cadena descendente en subgrupos (normales), observando todas las secuencias decrecientes de subgrupos (normales):

${\displaystyle G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots.\,}$

Claramente, todos los grupos finitos satisfacen tanto ACC como DCC en subgrupos. El grupo cíclico infinito${\displaystyle \mathbf {Z} }$Satisface ACC pero no DCC, ya que (2)  >  (2) ²  >  (2) ³  >  ... es una secuencia decreciente infinita de subgrupos. Por otro lado, el${\displaystyle p^{\infty }}$-torsión parte de${\displaystyle \mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$(el grupo p cuasicíclico ) satisface DCC pero no ACC.

Decimos que un grupo G es indescomponible si no se puede escribir como un producto directo de subgrupos no triviales G = H × K.  

Si${\displaystyle G}$es un grupo que satisface tanto ACC como DCC en subgrupos normales, entonces hay exactamente una forma de escribir${\displaystyle G}$como producto directo${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,}$de un número finito de subgrupos indescomponibles de${\displaystyle G}$Aquí, la unicidad significa que las descomposiciones directas en subgrupos indescomponibles tienen la propiedad de intercambio. Es decir: supongamos que${\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,}$es otra expresión de${\displaystyle G}$como producto de subgrupos indescomponibles. Entonces${\displaystyle k=l}$y hay una reindexación de la${\displaystyle H_{i}}$es satisfactorio

• ${\displaystyle G_{i}}$y${\displaystyle H_{i}}$son isomorfos para cada uno${\displaystyle i}$;
• ${\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,}$para cada${\displaystyle r}$.

Demostrar la existencia es relativamente sencillo: sea S el conjunto de todos los subgrupos normales que no pueden escribirse como producto de subgrupos indescomponibles. Además, cualquier subgrupo indescomponible es (trivialmente) el producto directo de un término de sí mismo, por lo tanto, descomponible. Si Krull-Schmidt falla, entonces S contiene a G ; por lo tanto, podemos construir iterativamente una serie descendente de factores directos; esto contradice el DCC. Se puede entonces invertir la construcción para demostrar que todos los factores directos de G aparecen de esta manera. ^{[ 1 ]}

Por otro lado, la demostración de unicidad es bastante extensa y requiere una secuencia de lemas técnicos. Para una exposición completa, véase ^{[ 2 ] .}

El teorema no afirma la existencia de una descomposición no trivial , sino simplemente que cualesquiera dos descomposiciones de este tipo (si existen) son idénticas.

Una descomposición de Remak , introducida por Robert Remak , ^{[ 3 ]} es una descomposición de un grupo abeliano u objeto similar en una suma directa finita de objetos indescomponibles. El teorema de Krull-Schmidt proporciona condiciones para que exista una descomposición de Remak y para que sus factores sean únicos.

Si${\displaystyle E\neq 0}$es un módulo que satisface el ACC y el DCC en submódulos (es decir, es tanto noetheriano como artiniano o, equivalentemente, de longitud finita ), entonces${\displaystyle E}$es una suma directa de módulos indescomponibles . Salvo una permutación, los componentes indescomponibles en dicha suma directa están determinados de forma única salvo isomorfismo. ^{[ 4 ]}

Goro Azumaya generalizó esto, demostrando que si un módulo tiene una descomposición (posiblemente infinita) en módulos fuertemente indescomponibles, entonces esta descomposición es única salvo una permutación e isomorfismo. Un módulo es fuertemente indescomponible si su anillo de endomorfismos es local. Cualquier módulo de este tipo es indescomponible, pero lo contrario no es cierto, como lo demuestra el anillo de enteros visto como un módulo sobre sí mismo. Los inyectivos indescomponibles y los módulos indescomponibles de longitud finita son fuertemente indescomponibles, al igual que los módulos proyectivos indescomponibles sobre anillos semiperfectos. ^{[ 5 ]}

En general, el teorema falla si solo se asume que el módulo es noetheriano o artiniano. ^{[ 6 ]}

El teorema de Krull-Schmidt actual fue demostrado por primera vez por Joseph Wedderburn ( Ann. of Math , 1909) para grupos finitos, aunque reconoce que parte del mérito se debe a un estudio previo de G. A. Miller, donde se consideraron productos directos de grupos abelianos. El teorema de Wedderburn se enuncia como una propiedad de intercambio entre descomposiciones directas de longitud máxima. Sin embargo, su demostración no utiliza automorfismos.

La tesis de Robert Remak (1911) derivó el mismo resultado de unicidad que Wedderburn, pero también demostró (en terminología moderna) que el grupo de automorfismos centrales actúa transitivamente sobre el conjunto de descomposiciones directas de longitud máxima de un grupo finito. A partir de este teorema más fuerte, Remak también demostró varios corolarios, entre ellos que los grupos con centro trivial y los grupos perfectos tienen una descomposición de Remak única .

Otto Schmidt ( Sur les produits directs, SMF Bull. 41 (1913), 161–164) simplificó los teoremas principales de Remak, reduciéndolos a las demostraciones de tres páginas que hoy se utilizan en los libros de texto. Su método mejora el uso que hace Remak de los idempotentes para generar los automorfismos centrales adecuados. Tanto Remak como Schmidt publicaron posteriormente demostraciones y corolarios de sus teoremas.

Wolfgang Krull ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196) retomó el problema original de G. A. Miller sobre productos directos de grupos abelianos, extendiéndolo a grupos de operadores abelianos con condiciones de cadena ascendente y descendente. Esto se suele expresar en términos de módulos. Su demostración observa que los idempotentes utilizados en las demostraciones de Remak y Schmidt pueden restringirse a homomorfismos de módulos; los demás detalles de la demostración permanecen prácticamente inalterados.

O. Ore unificó las demostraciones de diversas categorías, incluyendo grupos finitos, grupos de operadores abelianos, anillos y álgebras, al probar que el teorema de intercambio de Wedderburn se cumple para retículos modulares con condiciones de cadena descendente y ascendente. Esta demostración no utiliza idempotentes ni vuelve a demostrar la transitividad de los teoremas de Remak.

Las obras de Kurosh y Zassenhaus, como The Theory of Groups , incluyen las demostraciones de Schmidt y Ore bajo el nombre de Remak-Schmidt, pero reconocen la contribución de Wedderburn y Ore. Textos posteriores utilizan el título Krull-Schmidt ( Hungerford 's Algebra) y Krull-Schmidt -Azumaya (Curtis-Reiner). Actualmente, el nombre Krull-Schmidt se usa comúnmente para cualquier teorema sobre la unicidad de productos directos de tamaño máximo. Algunos autores optan por llamar a las descomposiciones directas de tamaño máximo "descomposiciones de Remak" en honor a sus contribuciones.

• Categoría de Krull-Schmidt

• A. Facchini: Teoría de módulos. Anillos de endomorfismos y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos. Progress in Mathematics, 167. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
• CM Ringel: Krull–Remak–Schmidt falla para módulos artinianos sobre anillos locales. Algebr. Represent. Theory 4 (2001), no. 1, 77–86.

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