Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

El método de promediado de Krylov-Bogolyubov ( Método de promediado de Krylov-Bogolyubov ) es un método matemático para el análisis aproximado de procesos oscilatorios en mecánica no lineal. ^[1] El método se basa en el principio de promediado cuando la ecuación diferencial exacta del movimiento se reemplaza por su versión promediada. El método lleva el nombre de Nikolay Krylov y Nikolay Bogoliubov .

Desde los trabajos de Gauss , Fatou , Delone y Hill se han utilizado diversos esquemas de promediación para estudiar problemas de mecánica celeste . La importancia de la contribución de Krylov y Bogoliubov es que desarrollaron un enfoque de promediación general y demostraron que la solución del sistema promediado se aproxima a la dinámica exacta. ^{[2] [3] [4]}

El promedio de Krylov-Bogoliubov se puede utilizar para aproximar problemas oscilatorios cuando falla una expansión de perturbación clásica. Es decir, problemas de perturbación singular de tipo oscilatorio, por ejemplo, la corrección de Einstein a la precesión del perihelio de Mercurio . ^[5]

El método trata con ecuaciones diferenciales en la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+k^{2}u=a+\varepsilon f\left(u,{\frac {du}{dt}}\right)}$

para una función suave f junto con condiciones iniciales apropiadas. Se supone que el parámetro ε satisface

${\displaystyle 0<\varepsilon \ll k.}$

Si ε  = 0 entonces la ecuación se convierte en la del oscilador armónico simple con forzamiento constante, y la solución general es

${\displaystyle u(t)={\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(kt+B),}$

donde A y B se eligen para que coincidan con las condiciones iniciales. Se supone que la solución de la ecuación perturbada (cuando ε  ≠ 0) tiene la misma forma, pero ahora se permite que A y B varíen con t (y  ε ). Si también se supone que

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=kA(t)\cos(kt+B(t)),}$

entonces se puede demostrar que A y B satisfacen la ecuación diferencial: ^[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{k}}f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(\phi ),kA\cos(\phi )\right){\begin{bmatrix}\cos(\phi )\\-{\frac {1}{A}}\sin(\phi )\end{bmatrix}},}$

donde . Nótese que esta ecuación sigue siendo exacta, no se ha hecho ninguna aproximación todavía. El método de Krylov y Bogolyubov consiste en observar que las funciones A y B varían lentamente con el tiempo (en proporción a ε), por lo que su dependencia de se puede eliminar (aproximadamente) promediando en el lado derecho de la ecuación anterior: ${\displaystyle \phi = kt+B}$${\estilo de visualización \phi}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{2\pi k}}\int _{0}^{2\pi }f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}\sin(\theta ),kA_{0}\cos(\theta )\right){\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\-{\frac {1}{A_{0}}}\sin(\theta )\end{bmatrix}}d\theta ,}$

donde y se mantienen fijos durante la integración. Después de resolver este conjunto (posiblemente) más simple de ecuaciones diferenciales, la aproximación promedio de Krylov-Bogolyubov para la función original viene dada por ${\estilo de visualización A_{0}}$$Estilo de visualización B_{0}$

${\displaystyle u_{0}(t,\varepsilon ):={\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}(t,\varepsilon )\sin(kt+B_{0}(t,\varepsilon )).}$

Se ha demostrado que esta aproximación satisface ^[6]

${\displaystyle \left|u(t,\varepsilon )-u_{0}(t,\varepsilon )\right|\leq C_{1}\varepsilon ,}$

donde t satisface

${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {C_{2}}{\varepsilon }}}$

para algunas constantes y , independientes de ε. ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$