Kummer sum

En matemáticas , la suma de Kummer es el nombre que se da a ciertas sumas cúbicas de Gauss para un módulo primo p , donde p es congruente con 1 módulo 3. Reciben su nombre de Ernst Kummer , quien formuló una conjetura sobre las propiedades estadísticas de sus argumentos como números complejos. Estas sumas ya se conocían y utilizaban antes de Kummer, en la teoría de la ciclotomía .

Por lo tanto, una suma de Kummer es una suma finita.

${\displaystyle \sum \chi (r)e(r/p)=G(\chi )}$

tomado sobre r módulo p , donde χ es un carácter de Dirichlet que toma valores en las raíces cúbicas de la unidad , y donde e ( x ) es la función exponencial exp(2π ix ). Dado p de la forma requerida, hay dos de esos caracteres, junto con el carácter trivial.

La suma exponencial cúbica K ( n , p ) definida por

${\displaystyle K(n,p)=\sum _ {x=1}^{p}e(nx^{3}/p)}$

Es fácil ver que es una combinación lineal de las sumas de Kummer. De hecho, es 3 P, donde P es uno de los periodos gaussianos para el subgrupo de índice 3 en los residuos módulo p , bajo la multiplicación, mientras que las sumas de Gauss son combinaciones lineales de P con raíces cúbicas de la unidad como coeficientes. Sin embargo, es para la suma de Gauss que se cumplen las propiedades algebraicas. Estas sumas exponenciales cúbicas también se denominan ahora sumas de Kummer.

Se sabe, a partir de la teoría general de las sumas de Gauss, que

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {p}}.\,}$

De hecho, se conoce la descomposición prima de G ( χ ) en el campo ciclotómico en el que se encuentra naturalmente, lo que da una forma más fuerte. Lo que le preocupaba a Kummer era el argumento

${\displaystyle \theta _{p}\,}$

de G ( χ ). A diferencia del caso cuadrático, donde se conoce el cuadrado de la suma de Gauss y Gauss determinó la raíz cuadrada precisa, aquí el cubo de G ( χ ) se encuentra en los enteros de Eisenstein , pero su argumento está determinado por el del primo de Eisenstein que divide a p , que se divide en ese campo.

Kummer formuló una conjetura estadística sobre θ _p y su distribución módulo 2π (es decir, sobre el argumento de la suma de Kummer en el círculo unitario). Para que esto tenga sentido, hay que elegir entre los dos posibles χ: de hecho, hay una elección destacada, basada en el símbolo del residuo cúbico . Kummer utilizó datos numéricos disponibles para p hasta 500 (esto se describe en el libro de 1892 Theory of Numbers de George B. Mathews ). Sin embargo, operaba una «ley de los números pequeños», lo que significa que la conjetura original de Kummer, de una falta de distribución uniforme, adolecía de un sesgo de números pequeños. En 1952, John von Neumann y Herman Goldstine extendieron los cálculos de Kummer en ENIAC . ^{[ 1 ]} Los cálculos fueron programados y codificados por Hedvig Selberg, pero su trabajo solo fue reconocido al final del artículo, de manera similar a como sucedió con Mary Tsingou en el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (anteriormente el problema de Fermi-Pasta-Ulam).

En el siglo XX, finalmente se logró un progreso en esta cuestión, que había permanecido sin resolver durante más de 100 años. Partiendo del trabajo de Tomio Kubota , S.J. Patterson y Roger Heath-Brown refutaron en 1978 la conjetura de Kummer y demostraron una forma modificada de la misma. ^{[ 2 ]} De hecho, demostraron que existía una equidistribución de los θ _p . Este trabajo involucró formas automorfas para el grupo metapléctico y el lema de Vaughan en la teoría analítica de números . En 2000, Heath-Brown logró nuevos refinamientos. ^{[ 3 ]}

JWS Cassels formuló una segunda conjetura sobre las sumas de Kummer , basándose nuevamente en ideas previas de Tomio Kubota. Esta era una fórmula de producto en términos de funciones elípticas con multiplicación compleja por los enteros de Eisenstein. ^{[ 4 ]} La conjetura fue demostrada en 1978 por Charles Matthews. ^{[ 5 ]}

En 1978, Patterson conjeturó que θ _p estaba equidistribuido con un término de error asintóticamente de orden${\displaystyle X^{\frac {5}{6}}}$en lugar de cuadrática como con las sumas de Gauss que podrían explicar el sesgo inicial observado por Kummer. ^{[ 6 ]} Al año siguiente, su trabajo posterior con Heath-Brown que refutó la conjetura de Kummer mostró que de hecho era equidistribuida, pero si el orden de la asintótica era correcto seguía siendo desconocido. ^{[ 7 ]} Más de 20 años después, Heath-Brown cerró el problema, dando un nuevo método de cribado, y conjeturó que podría mejorarse para obtener el orden predicho. ^{[ 8 ]} En 2021, el problema fue demostrado condicionalmente en la hipótesis generalizada de Riemann por Alexander Dunn y Maksym Radziwill , quienes también mostraron que el cribado de Heath Brown no podía mejorarse como se esperaba. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• Bredikhin, BM (2001) [1994], "Hipótesis de Kummer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press