Teoría de Kummer

En álgebra abstracta y teoría de números , la teoría de Kummer describe ciertos tipos de extensiones de cuerpos que involucran la adjunción de raíces n -ésimas de elementos del cuerpo base . La teoría fue desarrollada originalmente por Ernst Eduard Kummer alrededor de la década de 1840 en su trabajo pionero sobre el Último Teorema de Fermat . Los enunciados principales no dependen de la naturaleza del cuerpo —aparte de su característica , que no debe dividir al entero n— y, por lo tanto, pertenecen al álgebra abstracta. La teoría de extensiones cíclicas del cuerpo K cuando la característica de K sí divide a n se llama teoría de Artin-Schreier .

La teoría de Kummer es fundamental, por ejemplo, en la teoría de cuerpos de clases y, en general, para comprender las extensiones abelianas ; afirma que, en presencia de suficientes raíces de la unidad, las extensiones cíclicas pueden entenderse en términos de extracción de raíces. El principal desafío en la teoría de cuerpos de clases reside en prescindir de raíces de la unidad adicionales (reduciendo a cuerpos más pequeños), lo cual es un problema mucho más complejo.

Una extensión de Kummer es una extensión de campo L / K , donde para algún entero dado n > 1 tenemos

• K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad (es decir, raíces de X ⁿ − 1)
• L / K tiene un grupo de Galois abeliano de exponente n .

Por ejemplo, cuando n = 2, la primera condición siempre es verdadera si K tiene característica ≠ 2. Las extensiones de Kummer en este caso incluyen extensiones cuadráticas.${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$donde a en K es un elemento no cuadrado. Mediante la solución usual de ecuaciones cuadráticas , cualquier extensión de grado 2 de K tiene esta forma. Las extensiones de Kummer en este caso también incluyen extensiones bicuadráticas y extensiones multicuadráticas más generales . Cuando K tiene característica 2, no existen tales extensiones de Kummer.

Tomando n = 3, no existen extensiones de Kummer de grado 3 del cuerpo de los ^números racionales Q , ya que se requieren tres raíces cúbicas de 1 números complejos . Si se toma L como el cuerpo de descomposición de X³ − a sobre Q , donde a no es un cubo en los números racionales, entonces L contiene un subcuerpo K con tres raíces cúbicas de 1; esto se debe a que si α y β son raíces del polinomio cúbico, tendremos ( α / β ) ^³ = 1 y el cúbico es un polinomio separable . Entonces L / K es una extensión de Kummer.

De manera más general, es cierto que cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, lo que implica que la característica de K no divide a n , entonces adjuntar a K la raíz n- ésima de cualquier elemento a de K crea una extensión de Kummer (de grado m , para algún m que divide a n ). Como cuerpo de descomposición del polinomio X ⁿ − a , la extensión de Kummer es necesariamente de Galois , con un grupo de Galois que es cíclico de orden m . Es fácil rastrear la acción de Galois a través de la raíz de la unidad frente a${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

La teoría de Kummer proporciona enunciados recíprocos. Cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, afirma que cualquier extensión abeliana de K con exponente que divide a n se forma mediante la extracción de raíces de elementos de K. Además, si K ^× denota el grupo multiplicativo de elementos no nulos de K , las extensiones abelianas de K con exponente n se corresponden biyectivamente con subgrupos de

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

es decir, elementos de K ^× módulo n- ésimas potencias. La correspondencia se puede describir explícitamente de la siguiente manera. Dado un subgrupo

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

La extensión correspondiente viene dada por

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

dónde

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

De hecho, basta con adjuntar la raíz n- ésima de un representante de cada elemento de cualquier conjunto de generadores del grupo Δ . Recíprocamente, si L es una extensión de Kummer de K , entonces Δ se recupera mediante la regla

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

En este caso hay un isomorfismo

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

dado por

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

donde α es cualquier raíz n- ésima de a en L. Aquí${\displaystyle \mu _{n}}$denota el grupo multiplicativo de las raíces enésimas de la unidad (que pertenecen a K ) y${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$es el grupo de homomorfismos continuos de${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$equipado con topología Krull para${\displaystyle \mu _{n}}$con topología discreta (con operación de grupo dada por multiplicación puntual). Este grupo (con topología discreta) también puede verse como el dual de Pontryagin de${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, suponiendo que consideramos${\displaystyle \mu _{n}}$como un subgrupo del grupo del círculo . Si la extensión L / K es finita, entonces${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$es un grupo discreto finito y tenemos

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

Sin embargo, el último isomorfismo no es natural .

Una de las principales herramientas en la teoría de Kummer es el mapa de Kummer.${\displaystyle m}$Sea un número entero positivo y sea${\displaystyle K}$ser un campo, no necesariamente conteniendo el${\displaystyle m}$las raíces de la unidad. Dejando${\displaystyle {\overline {K}}}$denotamos el cierre algebraico de${\displaystyle K}$, hay una secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

Elegir una extensión${\displaystyle L/K}$y tomando${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$-cohomología se obtiene la secuencia

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

Según el teorema de Hilbert 90${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$y por lo tanto obtenemos un isomorfismo${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$Este es el mapa de Kummer. También existe una versión de este mapa cuando todos${\displaystyle m}$se consideran simultáneamente. Es decir, dado que${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$, tomando el límite directo sobre${\displaystyle m}$produce un isomorfismo

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$,

donde tors denota el subgrupo de torsión de las raíces de la unidad.

La teoría de Kummer se utiliza a menudo en el contexto de curvas elípticas.${\displaystyle E/K}$sea ​​una curva elíptica . Hay una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$,

donde la multiplicación por${\displaystyle m}$El mapa es sobreyectivo ya que${\displaystyle E}$es divisible. Elegir una extensión algebraica${\displaystyle L/K}$y tomando la cohomología, obtenemos la secuencia de Kummer para${\displaystyle E}$:

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

El cálculo del grupo débil de Mordell-Weil${\displaystyle E(L)/mE(L)}$es una parte clave de la demostración del teorema de Mordell-Weil . El fracaso de${\displaystyle H^{1}(L,E)}$El hecho de que desaparezca añade una complejidad clave a la teoría.

Supongamos que G es un grupo profinito que actúa sobre un módulo A con un homomorfismo sobreyectivo π del G -módulo A en sí mismo. Supongamos también que G actúa trivialmente sobre el núcleo C de π y que el primer grupo de cohomología H ¹ ( G , A ) es trivial. Entonces, la sucesión exacta de cohomología de grupos muestra que existe un isomorfismo entre A ^G /π( A ^G ) y Hom( G , C ).

La teoría de Kummer es el caso especial de esto cuando A es el grupo multiplicativo de la clausura separable de un cuerpo k , G es el grupo de Galois, π es la aplicación de potencia n -ésima y C el grupo de raíces n -ésimas de la unidad. La teoría de Artin-Schreier es el caso especial cuando A es el grupo aditivo de la clausura separable de un cuerpo k de característica positiva p , G es el grupo de Galois, π es la aplicación de Frobenius menos la identidad y C el cuerpo finito de orden p . Tomando A como el grupo aditivo de un anillo de vectores de Witt truncados da la generalización de Witt de la teoría de Artin-Schreier a extensiones de exponente que divide p ⁿ .

• Campo cuadrático

• "Extensión de Kummer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Bryan Birch , "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (eds.), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap. III, págs.  85-93.