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El problema del complemento de cierre de Kuratowski

En topología de conjuntos de puntos , el problema de cierre-complemento de Kuratowski pregunta por el mayor número de conjuntos distintos que se pueden obtener aplicando repetid...

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En topología de conjuntos de puntos , el problema de cierre-complemento de Kuratowski pregunta por el mayor número de conjuntos distintos que se pueden obtener aplicando repetidamente las operaciones de cierre y complemento a un subconjunto inicial dado de un espacio topológico . La respuesta es 14. Este resultado fue publicado por primera vez por Kazimierz Kuratowski en 1922. [ 1 ] Obtuvo mayor difusión en la monografía fundamental de Kuratowski, Topologie (publicada por primera vez en francés en 1933; la primera traducción al inglés apareció en 1966), antes de alcanzar fama como ejercicio de libro de texto en el clásico de John L. Kelley de 1955, General Topology . [ 2 ]

Prueba

AlquilerS{\displaystyle S}denotamos un subconjunto arbitrario de un espacio topológico, escribimoskS{\displaystyle kS}para el cierre deS{\displaystyle S}, ydoS{\displaystyle cS}para el complemento deS{\displaystyle S}Las siguientes tres identidades implican que no se pueden obtener más de 14 conjuntos distintos:

  1. kkS=kS{\displaystyle kkS=kS}(La operación de cierre es idempotente ).
  2. dodoS=S{\displaystyle ccS=S}(La operación de complemento es una involución ).
  3. kdokdokdokdoS=kdokdoS{\displaystyle kckckckcS=kckcS}. (O equivalentementekdokdokdokS=kdokdokdokdodoS=kdokS{\displaystyle kckckckS=kckckckccS=kckS}, utilizando la identidad (2)).

Las dos primeras son triviales. La tercera se deduce de la identidad.kikiS=kiS{\displaystyle kikiS=kiS}dóndeiS{\displaystyle iS}es el interior deS{\displaystyle S}que es igual al complemento del cierre del complemento deS{\displaystyle S},iS=dokdoS{\displaystyle iS=ckcS}. (La operaciónki=kdokdo{\displaystyle ki=kckc}es idempotente.)

Un subconjunto que alcanza el máximo de 14 se denomina conjunto de 14 elementos . El espacio de los números reales bajo la topología usual contiene conjuntos de 14 elementos. He aquí un ejemplo:

(0,1)∪(1,2)∪{3}∪([4,5]∩Q),{\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}

dónde(1,2){\displaystyle (1,2)}denota un intervalo abierto y[4,5]{\displaystyle [4,5]}denota un intervalo cerrado. Seaincógnita{\displaystyle X}Denotemos este conjunto. Entonces, los siguientes 14 conjuntos son accesibles:

  1. incógnita{\displaystyle X}, el conjunto que se muestra arriba.
  2. doincógnita=(−∞,0]∪{1}∪[2,3)∪(3,4)∪((4,5)∖Q)∪(5,∞){\displaystyle cX=(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup {\bigl (}(4,5)\setminus \mathbb {Q} {\bigr )}\cup (5,\infty )}
  3. kdoincógnita=(−∞,0]∪{1}∪[2,∞){\displaystyle kcX=(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [2,\infty )}
  4. dokdoincógnita=(0,1)∪(1,2){\displaystyle ckcX=(0,1)\cup (1,2)}
  5. kdokdoincógnita=[0,2]{\displaystyle kckcX=[0,2]}
  6. dokdokdoincógnita=(−∞,0)∪(2,∞){\displaystyle ckckcX=(-\infty,0)\cup (2,\infty)}
  7. kdokdokdoincógnita=(−∞,0]∪[2,∞){\displaystyle kckckcX=(-\infty,0]\cup [2,\infty)}
  8. dokdokdokdoincógnita=(0,2){\displaystyle ckckckcX=(0,2)}
  9. kincógnita=[0,2]∪{3}∪[4,5]{\displaystyle kX=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]}
  10. dokincógnita=(−∞,0)∪(2,3)∪(3,4)∪(5,∞){\displaystyle ckX=(-\infty ,0)\cup (2,3)\cup (3,4)\cup (5,\infty )}
  11. kdokincógnita=(−∞,0]∪[2,4]∪[5,∞){\displaystyle kckX=(-\infty,0]\cup [2,4]\cup [5,\infty)}
  12. dokdokincógnita=(0,2)∪(4,5){\displaystyle ckckX=(0,2)\cup (4,5)}
  13. kdokdokincógnita=[0,2]∪[4,5]{\displaystyle kckckX=[0,2]\cup [4,5]}
  14. dokdokdokincógnita=(−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞){\displaystyle ckckckX=(-\infty,0)\cup (2,4)\cup (5,\infty)}

Resultados adicionales

A pesar de su origen en el contexto de un espacio topológico, el problema del complemento de cierre de Kuratowski es en realidad más algebraico que topológico. Desde 1960 ha aparecido una sorprendente abundancia de problemas y resultados estrechamente relacionados, muchos de los cuales tienen poco o nada que ver con la topología de conjuntos de puntos. [ 3 ]

Consideradas como funciones de conjunto con valores en un conjunto, las 14 operaciones de cierre-complemento comprenden un monoide de operadores llamado monoide de Kuratowski, donde el producto del monoide es la composición de funciones . [ 4 ] [ 5 ] Este monoide, que puede usarse para clasificar espacios topológicos según el cociente que satisfacen, también ha inspirado clasificaciones similares en otros contextos. [ 6 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Kuratowski, Kazimierz (1922). "Sur l'operación A de l'Analysis Situs" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 3 . Varsovia: Academia Polaca de Ciencias: 182– 199. doi : 10.4064/fm-3-1-182-199 . ISSN 0016-2736 . 
  2. ↑ Kelley, John (1955). Topología general . Van Nostrand. pág. 57. ISBN  0-387-90125-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  3. ^ Martillo, ordenador personal (1960). "Teorema de cierre de Kuratowski". Nieuw Archief voor Wiskunde . 8 . Real Sociedad Matemática Holandesa: 74– 80. ISSN 0028-9825 . 
  4. ↑ Gardner, BJ; Jackson, M. (2008). "El teorema del complemento de cierre de Kuratowski" (PDF) . New Zealand Journal of Mathematics . 38. New Zealand Mathematical Society: 9–44 . S2CID 11278456 . 
  5. ↑ Bowron, Mark (2024). "Extensiones de frontera-borde del monoide de Kuratowski" . Topology and its Applications . 341 (108703). Elsevier: 1–35 . doi : 10.1016/j.topol.2023.108703 . S2CID 257505589 . 
  6. ↑ Schwiebert, Ryan (2017). "El monoide radical-aniquilador de un anillo". Communications in Algebra . 45 (4): 1601– 1617. arXiv : 1803.00516 . doi : 10.1080/00927872.2016.1222401 . S2CID 73715295 . 
  • El problema del complemento de cierre de Kuratowski. Archivado el 7 de mayo de 2019 en Wayback Machine.