Dimensión equilátera

En matemáticas , la dimensión equilátera de un espacio métrico es el tamaño máximo de cualquier subconjunto del espacio cuyos puntos están todos a igual distancia entre sí. ^{[ 1 ]} La dimensión equilátera también se ha llamado " dimensión métrica ", pero el término "dimensión métrica" ​​también tiene muchos otros usos no equivalentes. ^{[ 1 ]} La dimensión equilátera de${\displaystyle d}$El espacio euclidiano de -dimensiones es${\displaystyle d+1}$, logrado mediante los vértices de un simplex regular y la dimensión equilátera de un${\displaystyle d}$Espacio vectorial de dimensión con la distancia de Chebyshev (${\displaystyle L^{\infty }}$norma) es${\displaystyle 2^{d}}$, logrado por los vértices de un hipercubo . Sin embargo, la dimensión equilátera de un espacio con la distancia de Manhattan (${\displaystyle L^{1}}$norma) no se conoce. La conjetura de Kusner , que lleva el nombre de Robert B. Kusner , afirma que es exactamente${\displaystyle 2d}$, logrado mediante los vértices de un politopo cruzado . ^{[ 2 ]}

La dimensión equilátera se ha estudiado particularmente para los espacios de Lebesgue , espacios vectoriales normados de dimensión finita con la${\displaystyle L^{p}}$norma $${\displaystyle \ \|x\|_{p}={\bigl (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{d}|^{p}{\bigr )}^{1/p}.}$$

La dimensión equilátera de${\displaystyle L^{p}}$espacios de dimensión${\displaystyle d}$se comporta de manera diferente dependiendo del valor de${\displaystyle p}$:

• Para${\displaystyle p=1}$, el${\displaystyle L^{p}}$La norma da lugar a la distancia de Manhattan . En este caso, es posible encontrar${\displaystyle 2d}$puntos equidistantes, los vértices de un politopo cruzado alineado con los ejes . Se sabe que la dimensión equilátera es exactamente${\displaystyle 2d}$para${\displaystyle d\leq 4}$, ^{[ 3 ]} y estar limitado superiormente por${\displaystyle O(d\log d)}$a pesar de${\displaystyle d}$. ^{[ 4 ]} Robert B. Kusner sugirió en 1983 que la dimensión equilátera para este caso debería ser exactamente${\displaystyle 2d}$; ^{[ 5 ]} esta sugerencia (junto con una sugerencia relacionada para la dimensión equilátera cuando${\displaystyle p>2}$) ha llegado a ser conocida como la conjetura de Kusner .
• Para${\displaystyle 1<p<2}$, la dimensión equilátera es al menos${\displaystyle (1+\varepsilon )d}$dónde${\displaystyle \varepsilon }$es una constante que depende de${\displaystyle p}$. ^{[ 6 ]}
• Para${\displaystyle p=2}$, el${\displaystyle L^{p}}$La norma es la conocida distancia euclidiana . La dimensión equilátera de${\displaystyle d}$El espacio euclidiano de -dimensiones es${\displaystyle d+1}$: el${\displaystyle d+1}$Los vértices de un triángulo equilátero , un tetraedro regular o un simplex regular de dimensión superior forman un conjunto equilátero, y todo conjunto equilátero debe tener esta forma. ^{[ 5 ]}
• Para${\displaystyle 2<p<\infty }$, la dimensión equilátera es al menos${\displaystyle d+1}$: por ejemplo el${\displaystyle d}$vectores base del espacio vectorial junto con otro vector de la forma${\displaystyle (-x,-x,\dots )}$para una elección adecuada de${\displaystyle x}$forman un conjunto equilátero. La conjetura de Kusner afirma que en estos casos la dimensión equilátera es exactamente${\displaystyle d+1}$La conjetura de Kusner ha sido probada para el caso especial que${\displaystyle p=4}$. ^{[ 6 ]} Cuando${\displaystyle p}$es un número entero impar la dimensión equilátera está limitada superiormente por${\displaystyle O(d\log d)}$. ^{[ 4 ]}
• Para${\displaystyle p=\infty }$(el caso límite de la${\displaystyle L^{p}}$norma para valores finitos de${\displaystyle p}$, en el límite como${\displaystyle p}$crece hasta el infinito) el${\displaystyle L^{p}}$La norma se convierte en la distancia de Chebyshev , el valor absoluto máximo de las diferencias de las coordenadas. Para una${\displaystyle d}$Espacio vectorial de dimensión con la distancia de Chebyshev, la dimensión equilátera es${\displaystyle 2^{d}}$: el${\displaystyle 2^{d}}$Los vértices de un hipercubo alineado con los ejes están a distancias iguales entre sí, y no es posible un conjunto equilátero mayor. ^{[ 5 ]}

También se ha considerado la dimensión equilátera para espacios vectoriales normados con normas distintas a la${\displaystyle L^{p}}$normas. El problema de determinar la dimensión equilátera para una norma dada está estrechamente relacionado con el problema del número de besos : el número de besos en un espacio normado es el número máximo de traslaciones disjuntas de una bola unitaria que pueden tocar una sola bola central, mientras que la dimensión equilátera es el número máximo de traslaciones disjuntas que pueden tocarse entre sí.

Para un espacio vectorial normado de dimensión${\displaystyle d}$, la dimensión equilátera es como máximo${\displaystyle 2^{d}}$; es decir, el${\displaystyle L^{\infty }}$La norma tiene la dimensión equilátera más alta entre todos los espacios normados. ^{[ 7 ]} Petty (1971) preguntó si todo espacio vectorial normado de dimensión${\displaystyle d}$tiene dimensión equilátera al menos${\displaystyle d+1}$, pero esto sigue siendo desconocido. Existen espacios normados en cualquier dimensión para los cuales ciertos conjuntos de cuatro puntos equiláteros no pueden extenderse a ningún conjunto equilátero mayor ^{[ 7 ]} pero estos espacios pueden tener conjuntos equiláteros mayores que no incluyen estos cuatro puntos. Para normas que están suficientemente cerca en distancia de Banach-Mazur a un${\displaystyle L^{p}}$norma, la pregunta de Petty tiene una respuesta positiva: la dimensión equilátera es al menos${\displaystyle d+1}$. ^{[ 8 ]}

No es posible que los espacios de alta dimensión tengan dimensión equilátera acotada: para cualquier entero${\displaystyle k}$, todos los espacios vectoriales normados de dimensión suficientemente alta tienen al menos dimensión equilátera${\displaystyle k}$. ^{[ 9 ]} más específicamente, según una variación del teorema de Dvoretzky por Alon y Milman (1983) , cada${\displaystyle d}$El espacio normado de -dimensiones tiene un${\displaystyle k}$subespacio de dimensión que está cerca de un espacio euclidiano o de un espacio de Chebyshev, donde $${\displaystyle k\geq \exp(c{\sqrt {\log d}})}$$ por alguna constante${\displaystyle c}$Debido a que está cerca de un espacio de Lebesgue, este subespacio y por lo tanto también todo el espacio contiene un conjunto equilátero de al menos${\displaystyle k+1}$puntos. Por lo tanto, la misma dependencia superlogarítmica en${\displaystyle d}$se cumple para el límite inferior de la dimensión equilátera de${\displaystyle d}$espacio -dimensional. ^{[ 8 ]}

Para cualquier${\displaystyle d}$Variedad riemanniana de dimensión - , la dimensión equilátera es al menos${\displaystyle d+1}$. ^{[ 5 ]} Para un${\displaystyle d}$esfera de -dimensiones , la dimensión equilátera es${\displaystyle d+2}$, igual que para un espacio euclidiano de una dimensión superior en el que se puede incrustar la esfera. ^{[ 5 ]} Al mismo tiempo que planteaba la conjetura de Kusner, Kusner se preguntaba si existen métricas riemannianas con dimensión acotada como una variedad pero con dimensión equilátera arbitrariamente alta. ^{[ 5 ]}