Fórmula de trazas de Kuznetsov

En teoría analítica de números , la fórmula de traza de Kuznetsov es una extensión de la fórmula de traza de Petersson .

La fórmula de Kuznetsov o traza relativa conecta las sumas de Kloosterman a un nivel profundo con la teoría espectral de las formas automórficas . Originalmente, esto podría haberse enunciado de la siguiente manera. Sea

${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

sea ​​una función suficientemente " bien comportada ". Entonces se denominan identidades del siguiente tipo fórmula de traza de Kuznetsov :

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0\,{\text{mod}}\ N}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{Transformación integral}}\ +\ {\text{Términos espectrales}}.}$

La parte de la transformada integral es alguna transformada integral de g y la parte espectral es una suma de coeficientes de Fourier, tomados sobre espacios de formas modulares holomorfas y no holomorfas retorcidas con alguna transformada integral de g . La fórmula de la traza de Kuznetsov fue hallada por Kuznetsov mientras estudiaba el crecimiento de funciones automorfas de peso cero. ^{[ 1 ]} Utilizando estimaciones sobre sumas de Kloosterman, pudo derivar estimaciones para coeficientes de Fourier de formas modulares en casos donde la demostración de Pierre Deligne de las conjeturas de Weil no era aplicable.

Posteriormente, Jacquet lo tradujo a un marco teórico de representación .${\displaystyle G}$ser un grupo reductivo sobre un cuerpo numérico F y${\displaystyle H\subset G}$ser un subgrupo. Mientras que la fórmula de traza usual estudia el análisis armónico en G , la fórmula de traza relativa es una herramienta para estudiar el análisis armónico en el espacio simétrico.${\displaystyle G/H}$Para una visión general y numerosas aplicaciones, véase Cogdell, JW y I. Piatetski-Shapiro, The arithmetic and spectral analysis of Poincaré series , volumen 13 de Perspectives in mathematics . Academic Press Inc., Boston, MA, (1990).

• Kuznecov, NV (1980), "La conjetura de Petersson para formas cúspides de peso cero y la conjetura de Linnik. Sumas de sumas de Kloosterman", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 111(153) (3): 334–383 , ISSN 0368-8666 , MR 0568983