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Articulo de referencia

Teorema de continuidad de Lévy

En teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o teorema de convergencia de Lévy , [ 1 ] que recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy , relaciona la...

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En teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o teorema de convergencia de Lévy , [ 1 ] que recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy , relaciona la convergencia en distribución de la secuencia de variables aleatorias con la convergencia puntual de sus funciones características . Este teorema constituye la base de un método para demostrar el teorema del límite central y es uno de los teoremas más importantes sobre funciones características.

Declaración

Supongamos que tenemos

  • una secuencia de variables aleatorias{incógnitanorte}norte=1∞{\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}, no necesariamente compartiendo un espacio de probabilidad común ,
  • la secuencia de funciones características correspondientes{φnorte}norte=1∞{\textstyle \{\varphi _ {n}\}_ {n=1}^{\infty }}, que por definición son
    φnorte(t)=mi⁡[miitincógnitanorte]∀t∈R, ∀norte∈norte,{\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}
    dóndemi{\displaystyle \operatorname {E} }es el operador de valor esperado .

Si la secuencia de funciones características converge puntualmente a alguna funciónφ{\displaystyle \varphi }

φnorte(t)→φ(t)∀t∈R,{\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}

Entonces las siguientes afirmaciones se vuelven equivalentes:

  • incógnitanorte{\displaystyle X_{n}}converge en distribución a alguna variable aleatoria X
    incógnitanorte →D incógnita,{\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}
    es decir, las funciones de distribución acumulativa correspondientes a las variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad de la función de distribución acumulativa de X ; 
  • {incógnitanorte}norte=1∞{\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}está apretado :
    límiteincógnita→∞(sorbernortePAG⁡[|incógnitanorte|>incógnita])=0;{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}
  • φ(t){\displaystyle \varphi (t)}es una función característica de alguna variable aleatoria X ;
  • φ(t){\displaystyle \varphi (t)}es una función continua de t ;
  • φ(t){\displaystyle \varphi (t)}es continua en t  =  0.

Prueba

Existen demostraciones rigurosas de este teorema. [ 1 ] [ 2 ]

Referencias

  1. 1 2 Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. Sección 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
  2. ↑ Fristedt, BE; Gray, LF (1996). Un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad . Boston: Birkhäuser. Teoremas 14.15 y 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.