L-infinito

En matemáticas ,${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, el espacio vectorial (real o complejo) de secuencias acotadas con la norma del supremo , y${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma,\mu )}$, el espacio vectorial de funciones medibles esencialmente acotadas con la norma suprema esencial , son dos espacios de Banach estrechamente relacionados . De hecho, el primero es un caso especial del segundo. Como espacio de Banach, son, respectivamente, el dual continuo de los espacios de Banach.${\displaystyle \ell _{1}}$de secuencias absolutamente sumables, y${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ de funciones medibles absolutamente integrables (si el espacio de medida cumple las condiciones de ser localizable y, por lo tanto, semifinito). ^{[ 1 ]} La multiplicación puntual les da la estructura de un álgebra de Banach y, de hecho, son los ejemplos estándar de álgebras de Von Neumann abelianas .

El espacio vectorial${\displaystyle \ell ^{\infty }}$es un espacio de secuencias cuyos elementos son las secuencias acotadas . Las operaciones del espacio vectorial, suma y multiplicación escalar, se aplican coordenada por coordenada. Con respecto a la norma $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$es un ejemplo estándar de un espacio de Banach . De hecho,${\displaystyle \ell ^{\infty }}$puede ser considerado como el${\displaystyle \ell ^{p}}$espacio con el más grande${\displaystyle p}$.

Este espacio es el fuerte espacio dual de${\displaystyle \ell ^{1}}$: de hecho, cada ${\displaystyle x\in \ell ^{\infty }}$define un funcional continuo en el espacio${\displaystyle \ell ^{1}}$de secuencias absolutamente sumables mediante multiplicación y suma componente a componente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to ({\ell ^{1}})'\end{aligned}}}$

a través de

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \left(y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\right)\end{aligned}}}$

Al evaluar en${\displaystyle (0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$vemos que cada funcional lineal continuo en${\displaystyle \ell ^{1}}$surge de esta manera. es decir

${\displaystyle ({\ell ^{1}})'=\ell ^{\infty }}$

Sin embargo, no todos los funcionales lineales continuos en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$surge de una serie absolutamente resumible en${\displaystyle \ell ^{1},}$y por lo tanto${\displaystyle \ell ^{\infty }}$no es un espacio de Banach reflexivo .

${\displaystyle L^{\infty }}$es un espacio de funciones . Sus elementos son las funciones medibles esencialmente acotadas . ^{[ 2 ]}

Más precisamente,${\displaystyle L^{\infty }}$se define en función de un espacio de medidas subyacente ,${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$Comience con el conjunto de todas las funciones medibles de${\displaystyle S}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$que son esencialmente acotadas , es decir, acotadas excepto en un conjunto de medida cero. Dos de estas funciones se identifican si son iguales casi en todas partes. Denotemos el conjunto resultante por${\displaystyle L^{\infty }(S,\mu ).}$

Para una función${\displaystyle f}$En este conjunto, su supremo esencial sirve como norma apropiada: $${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ para casi todo }}x\}.}$$ Esta norma es la norma uniforme . Es una${\displaystyle L^{p}}$norma para${\displaystyle p=\infty .}$

El espacio de secuencias es un caso especial del espacio de funciones: ${\displaystyle \ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )}$donde los números naturales están dotados de la medida de conteo.

Una aplicación de${\displaystyle \ell ^{\infty }}$y${\displaystyle L^{\infty }}$se encuentra en la economía , particularmente en el estudio de economías con una cantidad infinita de bienes. ^{[ 3 ]} En modelos económicos simples, es común suponer que solo hay un número finito de bienes diferentes, por ejemplo, casas, frutas, automóviles, etc., por lo que cada cesta puede representarse mediante un vector finito, y el conjunto de consumo es un espacio vectorial con una dimensión finita. Pero en realidad, el número de bienes diferentes puede ser infinito. Por ejemplo, una "casa" no es un solo tipo de bien, ya que el valor de una casa depende de su ubicación. Por lo tanto, el número de bienes diferentes es el número de ubicaciones diferentes, que puede considerarse infinito. En este caso, el conjunto de consumo se representa naturalmente por${\displaystyle L^{\infty }.}$

• Norma uniforme : función en análisis matemático 
• Distancia de Chebyshev – Métrica matemática