Función de cuadrado integrable

En matemáticas , una función de cuadrado integrable , también llamada función cuadráticamente integrable o${\displaystyle L^{2}}$Una función o función de suma cuadrática [ ^{1 ]} es una función medible de valores ^reales o complejos para la cual la integral del cuadrado del valor absoluto es finita. Por lo tanto, la integrabilidad cuadrática en la recta real${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$se define de la siguiente manera.

También se puede hablar de integrabilidad cuadrática sobre intervalos acotados como${\displaystyle [a,b]}$para${\displaystyle a\leq b}$. ^{[ 2 ]}

Una definición equivalente sería decir que el cuadrado de la función misma (en lugar de su valor absoluto) es integrable según Lebesgue . Para que esto sea cierto, las integrales de las partes positiva y negativa de la parte real deben ser finitas, al igual que las de la parte imaginaria.

El espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones de cuadrado integrable (con respecto a la medida de Lebesgue ) forma el${\displaystyle L^{p}}$espacio con${\displaystyle p=2.}$Entre los${\displaystyle L^{p}}$espacios, la clase de funciones de cuadrado integrable es única por ser compatible con un producto interno , lo que permite definir nociones como ángulo y ortogonalidad. Junto con este producto interno, las funciones de cuadrado integrable forman un espacio de Hilbert , ya que todas las${\displaystyle L^{p}}$Los espacios están completos bajo sus respectivos${\displaystyle p}$-normas .

A menudo, el término se utiliza no para referirse a una función específica, sino a clases de equivalencia de funciones que son iguales casi en todas partes .

Las funciones de cuadrado integrable (en el sentido mencionado en el que una "función" en realidad significa una clase de equivalencia de funciones que son iguales casi en todas partes) forman un espacio de producto interno con producto interno dado por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}\ g(x)\mathrm {d} x,}$$ dónde

• ${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones de cuadrado integrable,
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$es el conjugado complejo de${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$es el conjunto sobre el cual se integra —en la primera definición (dada en la introducción anterior),${\displaystyle A}$es${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$, en el segundo,${\displaystyle A}$es${\displaystyle [a,b]}$.

Desde${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$, la integrabilidad cuadrada es lo mismo que decir $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Se puede demostrar que las funciones de cuadrado integrable forman un espacio métrico completo bajo la métrica inducida por el producto interno definido anteriormente. Un espacio métrico completo también se denomina espacio de Cauchy , ya que las sucesiones en dichos espacios métricos convergen si y solo si son de Cauchy . Un espacio que es completo bajo la métrica inducida por una norma es un espacio de Banach . Por lo tanto, el espacio de funciones de cuadrado integrable es un espacio de Banach, bajo la métrica inducida por la norma, que a su vez es inducida por el producto interno. Como tenemos la propiedad adicional del producto interno, este es específicamente un espacio de Hilbert , porque el espacio es completo bajo la métrica inducida por el producto interno.

Este espacio de producto interno se denota convencionalmente por${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$y muchas veces abreviado como${\displaystyle L_{2}.}$ Tenga en cuenta que${\displaystyle L_{2}}$denota el conjunto de funciones de cuadrado integrable, pero esta notación no especifica ninguna selección de métrica, norma o producto interno. El conjunto, junto con el producto interno específico${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$especificar el espacio del producto interno.

El espacio de funciones de cuadrado integrable es el${\displaystyle L^{p}}$espacio en el que${\displaystyle p=2.}$

La función${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$definido en${\displaystyle (0,1),}$está en${\displaystyle L^{2}}$para${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$pero no para${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$^{[ 1 ]} La función${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$definido en${\displaystyle [1,\infty ),}$es de cuadrado integrable. ^{[ 3 ]}

Funciones acotadas, definidas en${\displaystyle [0,1],}$son de cuadrado integrable. Estas funciones también están en${\displaystyle L^{p},}$para cualquier valor de${\displaystyle p.}$^{[ 3 ]}

• Espacio interior del producto
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio – Espacios de funciones que generalizan espacios de norma p de dimensión finita