circuito LC

Un circuito LC , también llamado circuito resonante , circuito tanque o circuito sintonizado , es un circuito eléctrico compuesto por un inductor , representado por la letra L, y un condensador , representado por la letra C, conectados entre sí. Este circuito puede funcionar como un resonador eléctrico , un análogo eléctrico de un diapasón , almacenando energía que oscila a la frecuencia de resonancia del circuito .

Los circuitos LC se utilizan para generar señales a una frecuencia determinada o para seleccionar una señal a una frecuencia específica dentro de una señal más compleja; esta función se denomina filtro paso banda . Son componentes clave en muchos dispositivos electrónicos, especialmente en equipos de radio, y se emplean en circuitos como osciladores , filtros , sintonizadores y mezcladores de frecuencia .

Un circuito LC es un modelo idealizado, ya que supone que no hay disipación de energía debido a la resistencia . Cualquier implementación práctica de un circuito LC siempre incluirá pérdidas resultantes de una resistencia pequeña pero distinta de cero dentro de los componentes y los cables de conexión. El propósito de un circuito LC suele ser oscilar con una amortiguación mínima , por lo que la resistencia se reduce al mínimo. Si bien ningún circuito práctico está exento de pérdidas, resulta instructivo estudiar esta forma ideal del circuito para comprenderlo mejor y desarrollar una intuición física. Para un modelo de circuito que incorpora resistencia, consulte el circuito RLC .

El circuito LC de dos elementos descrito anteriormente es el tipo más simple de red inductor-capacitiva (o red LC ). También se le conoce como circuito LC de segundo orden ^{[ 1 ] [ 2 ]} para distinguirlo de las redes LC más complejas (de orden superior) con más inductores y capacitores. Dichas redes LC con más de dos reactancias pueden tener más de una frecuencia de resonancia .

El orden de la red es el orden de la función racional que la describe en la variable de frecuencia compleja s . Generalmente, el orden es igual al número de elementos L y C del circuito y, en ningún caso, puede exceder este número.

Un circuito LC, que oscila a su frecuencia de resonancia natural , puede almacenar energía eléctrica . Véase la animación. Un condensador almacena energía en el campo eléctrico ( E ) entre sus placas, dependiendo de la tensión aplicada, y un inductor almacena energía en su campo magnético ( B ), dependiendo de la corriente que lo atraviesa.

Si se conecta un inductor a través de un condensador cargado, la tensión en el condensador impulsará una corriente a través del inductor, generando un campo magnético a su alrededor. La tensión en el condensador disminuye a cero a medida que la corriente consume su carga. En este punto, la energía almacenada en el campo magnético de la bobina induce una tensión en la misma, ya que los inductores se oponen a los cambios de corriente. Esta tensión inducida provoca que una corriente comience a recargar el condensador con una tensión de polaridad opuesta a su carga original. Debido a la ley de Faraday , la fuerza electromotriz (FEM) que impulsa la corriente se produce por una disminución del campo magnético; por lo tanto, la energía necesaria para cargar el condensador se extrae del campo magnético. Cuando el campo magnético se disipa por completo, la corriente se detiene y la carga se almacena nuevamente en el condensador, con la polaridad opuesta a la anterior. Entonces, el ciclo comienza de nuevo, con la corriente fluyendo en sentido contrario a través del inductor.

La carga fluye de un lado a otro entre las placas del condensador, a través del inductor. La energía oscila entre el condensador y el inductor hasta que (si no se repone desde un circuito externo) la resistencia interna hace que las oscilaciones se extingan. La acción del circuito sintonizado, conocida matemáticamente como oscilador armónico , es similar a la de un péndulo que oscila de un lado a otro, o al movimiento del agua en un tanque; por esta razón, el circuito también se denomina circuito tanque . ^{[ 3 ]} La frecuencia natural (es decir, la frecuencia a la que oscilará cuando esté aislado de cualquier otro sistema, como se describió anteriormente) está determinada por los valores de capacitancia e inductancia. En la mayoría de las aplicaciones, el circuito sintonizado forma parte de un circuito más grande que le aplica corriente alterna , lo que genera oscilaciones continuas. Si la frecuencia de la corriente aplicada es la frecuencia de resonancia natural del circuito ( frecuencia natural${\displaystyle f_{0}\,}$(ver más abajo), se producirá resonancia , y una pequeña corriente de excitación puede generar voltajes y corrientes oscilantes de gran amplitud. En los circuitos sintonizados típicos de los equipos electrónicos, las oscilaciones son muy rápidas, de miles a miles de millones de veces por segundo.

La resonancia se produce cuando un circuito LC es alimentado por una fuente externa a una frecuencia angular ω₀ en la que las reactancias inductiva y capacitiva son iguales en magnitud. La frecuencia a la que se cumple esta igualdad para el circuito _en particular se denomina frecuencia de resonancia. La frecuencia de resonancia del circuito LC es

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

donde L es la inductancia en henrios y C es la capacitancia en faradios . La frecuencia angular ω₀ tiene unidades de _radianes por segundo.

La frecuencia equivalente en unidades de hercios es

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

El efecto de resonancia del circuito LC tiene muchas aplicaciones importantes en el procesamiento de señales y en los sistemas de comunicaciones.

• La aplicación más común de los circuitos tanque es la sintonización de transmisores y receptores de radio. Por ejemplo, al sintonizar una radio a una emisora ​​específica, los circuitos LC se ajustan a la resonancia para esa frecuencia portadora en particular .
• Un circuito resonante en serie proporciona amplificación de voltaje .
• Un circuito resonante paralelo proporciona amplificación de corriente .
• Un circuito resonante paralelo puede utilizarse como impedancia de carga en los circuitos de salida de los amplificadores de RF. Debido a la alta impedancia , la ganancia del amplificador es máxima en la frecuencia de resonancia.
• En el calentamiento por inducción se utilizan tanto circuitos resonantes en paralelo como en serie .

Los circuitos LC se comportan como resonadores electrónicos , que son un componente clave en muchas aplicaciones:

• Amplificadores
• Tarjetas sin contacto
• Vigilancia electrónica de artículos (etiquetas de seguridad)
• Filtros
• Discriminador Foster-Seeley
• Tabletas gráficas
• Mezcladoras
• osciladores
• Afinadores

En la configuración en serie del circuito LC, el inductor (L) y el condensador (C) están conectados en serie, como se muestra aquí. La tensión total V entre los terminales abiertos es simplemente la suma de la tensión en el inductor y la tensión en el condensador. La corriente I que entra al terminal positivo del circuito es igual a la corriente que circula por el condensador y el inductor.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

Cuando el inductor (L) y el condensador (C) se conectan en paralelo como se muestra aquí, la tensión V entre los terminales abiertos es igual a la tensión entre el inductor y la tensión entre el condensador. La corriente total I que fluye hacia el terminal positivo del circuito es igual a la suma de la corriente que fluye a través del inductor y la corriente que fluye a través del condensador.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

El circuito LC se puede resolver utilizando la transformada de Laplace .

Comenzamos definiendo la relación entre la corriente y el voltaje a través del condensador y el inductor de la forma habitual:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$y${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Luego, mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff, podemos llegar a las ecuaciones diferenciales que rigen el sistema.

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

Con condiciones iniciales${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$y${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Haciendo las siguientes definiciones,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$y${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

da

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Ahora aplicamos la transformada de Laplace.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

La transformada de Laplace ha convertido nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Resolver para V en el dominio s ( dominio de la frecuencia ) es mucho más sencillo, a saber:

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Que puede transformarse de nuevo al dominio del tiempo mediante la transformada inversa de Laplace:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando, una fracción equivalente de${\displaystyle \omega _{0}}$es necesario:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando, una fracción equivalente de${\displaystyle \omega _{0}}$es necesario:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

El término final depende de la forma exacta del voltaje de entrada. Dos casos comunes son la función escalón de Heaviside y una onda sinusoidal . Para una función escalón de Heaviside obtenemos

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

En el caso de una función sinusoidal como entrada, obtenemos:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

dónde${\displaystyle U}$es la amplitud y${\displaystyle \omega _{f}}$la frecuencia de la función aplicada.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Utilizando el método de fracciones parciales:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Simplificando por ambas partes

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

Resolvemos la ecuación para A, B y C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Sustituye los valores de A, B y C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Aislar la constante y usar fracciones equivalentes para compensar la falta de numerador:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Realizar la transformada inversa de Laplace en cada sumando:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Utilizando las condiciones iniciales en la solución de Laplace:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

La primera evidencia de que un condensador y un inductor podían producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Descubrió que cuando una botella de Leyden se descargaba a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y otras veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el alambre, que invertía la magnetización de la aguja de un lado a otro hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria. El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El científico irlandés William Thomson (Lord Kelvin) en 1853 demostró matemáticamente que la descarga de una botella de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria, y derivó su frecuencia de resonancia. ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]} El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de botellas de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia de resonancia en el rango de audio, que produjo un tono musical a partir de la chispa cuando se descargó. ^{[ 8 ]} En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito de botella de Leyden resonante en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]} En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, mostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia de resonancia. ^{[ 6 ]} El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de la chispa que se puede obtener de sus detectores resonadores LC de descarga de chispa en función de la frecuencia. ^{[ 6 ]}

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de Lodge con las "botellas sintónicas" alrededor de 1889. ^{[ 6 ] [ 8 ]} Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno compuesto por una botella de Leyden conectada a una bobina ajustable de una vuelta con un espacio de chispa. Cuando se aplicaba un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por lo tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaban en el otro circuito sintonizado solo cuando los circuitos estaban ajustados a resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sintonía " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se impuso. ^{[ 6 ]} El primer uso práctico de los circuitos LC fue en la década de 1890 en transmisores de radio con espacio de chispa para permitir que el receptor y el transmisor estuvieran sintonizados a la misma frecuencia. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio italiano Guglielmo Marconi . ^{[ 6 ]}

• Circuito RL
• Circuito RC
• Circuito RLC

• Un péndulo eléctrico, de Tony Kuphaldt, es una historia clásica sobre el funcionamiento de un tanque LC.
• El funcionamiento del circuito LC paralelo almacena energía, lo que constituye otro excelente recurso sobre la tecnología LC.