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Operador de escalera

En álgebra lineal (y su aplicación a la mecánica cuántica ), un operador de creación o aniquilación (conocidos colectivamente como operadores de escalera ) es un operador que au...

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En álgebra lineal (y su aplicación a la mecánica cuántica ), un operador de creación o aniquilación (conocidos colectivamente como operadores de escalera ) es un operador que aumenta o disminuye el valor propio de otro operador. En mecánica cuántica, los operadores de creación y aniquilación se conocen comúnmente como operadores de creación y aniquilación , respectivamente. Algunas aplicaciones destacadas de los operadores de escalera en mecánica cuántica se encuentran en los formalismos del oscilador armónico cuántico y el momento angular .

Terminología

Existe una relación entre los operadores de escalera de subida y bajada y los operadores de creación y aniquilación comúnmente utilizados en la teoría cuántica de campos, que reside en la teoría de la representación . El operador de creación a i † incrementa el número de partículas en el estado i , mientras que el operador de aniquilación correspondiente a i decrementa el número de partículas en el estado i . Esto satisface claramente los requisitos de la definición anterior de un operador de escalera: el incremento o decremento del valor propio de otro operador (en este caso, el operador de número de partículas ).

La confusión surge porque el término operador de escalera se usa normalmente para describir un operador que incrementa o decrementa un número cuántico que describe el estado de un sistema. Para cambiar el estado de una partícula con los operadores de creación/aniquilación de la teoría cuántica de campos (TQC) se requiere el uso de operadores de aniquilación y creación. Un operador de aniquilación se usa para eliminar una partícula del estado inicial y un operador de creación se usa para añadir una partícula al estado final.

El término «operador de escalera» u «operadores de elevación y descenso» también se utiliza a veces en matemáticas, en el contexto de la teoría de las álgebras de Lie y, en particular, de las álgebras de Lie afines . Por ejemplo, para describir las subálgebras su(2) , el sistema de raíces y los módulos de mayor peso se pueden construir mediante los operadores de escalera. [ 1 ] En particular, el módulo de mayor peso se anula mediante los operadores de elevación; el resto del espacio de raíces positivas se obtiene aplicando repetidamente los operadores de descenso (un conjunto de operadores de escalera por subálgebra).

Motivación desde las matemáticas

Desde el punto de vista de la teoría de la representación, una representación lineal de un grupo de Lie semisimple en parámetros reales continuos induce un conjunto de generadores para el álgebra de Lie . Una combinación lineal compleja de estos son los operadores de escalera. Para cada parámetro hay un conjunto de operadores de escalera; estos son entonces una forma estandarizada de navegar una dimensión del sistema de raíces y la red de raíces . [ 2 ] Los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico o la "representación numérica" ​​de la segunda cuantización son solo casos especiales de este hecho. Los operadores de escalera se vuelven entonces omnipresentes en la mecánica cuántica, desde el operador de momento angular , hasta los estados coherentes y los operadores de traslación magnética discretos .

Formulación general

Supongamos que dos operadores X y N tienen la relación de conmutación.[norte,incógnita]=doincógnita{\displaystyle [N,X]=cX} para algún escalar c . Si|norte⟩{\displaystyle {|n\rangle }}es un autoestado de N con ecuación de autovalor norte|norte⟩=norte|norte⟩,{\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle,} entonces el operador X actúa sobre|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }de tal manera que se desplace el valor propio en c : norteincógnita|norte⟩=(incógnitanorte+[norte,incógnita])|norte⟩=incógnitanorte|norte⟩+[norte,incógnita]|norte⟩=incógnitanorte|norte⟩+doincógnita|norte⟩=(norte+do)incógnita|norte⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}

En otras palabras, si|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }es un autoestado de N con autovalor n , entoncesincógnita|norte⟩{\displaystyle X|n\rangle }es un estado propio de N con valor propio n + c o es cero. El operador X es un operador de creación para N si c es real y positivo, y un operador de aniquilación para N si c es real y negativo.

Si N es un operador hermitiano , entonces c debe ser real y el adjunto hermitiano de X obedece la relación de conmutación. [norte,incógnita†]=−doincógnita†.{\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}

En particular, si X es un operador de descenso para N , entonces X † es un operador de ascenso para N y viceversa.

Momento angular

Una aplicación particular del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento cuántico-mecánico del momento angular . Para un vector de momento angular general J con componentes J x , J y y J z se definen los dos operadores de escalera [ 3 ].J+=Jincógnita+iJy,J−=Jincógnita−iJy,{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}} donde i es la unidad imaginaria .

La relación de conmutación entre las componentes cartesianas de cualquier operador de momento angular viene dada por [Ji,Jj]=iℏϵijkJk,{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},} donde ε ijk es el símbolo de Levi-Civita , y cada uno de i , j y k puede tomar cualquiera de los valores x , y y z .

A partir de esto, se obtienen las relaciones de conmutación entre los operadores de escalera y J z :[Jz,J±]=±ℏJ±,[J+,J−]=2ℏJz{\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}} (técnicamente, este es el álgebra de Lie desl(2,R){\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}).

Las propiedades de los operadores de escalera se pueden determinar observando cómo modifican la acción del operador J z sobre un estado dado: JzJ±|jmetro⟩=(J±Jz+[Jz,J±])|jmetro⟩=(J±Jz±ℏJ±)|jmetro⟩=ℏ(metro±1)J±|jmetro⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}

Compare este resultado con Jz|j(metro±1)⟩=ℏ(metro±1)|j(metro±1)⟩.{\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}

Por lo tanto, se concluye queJ±|jmetro⟩{\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}es algún escalar multiplicado por|j(metro±1)⟩{\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}: J+|jmetro⟩=α|j(metro+1)⟩,J−|jmetro⟩=β|j(metro−1)⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}

Esto ilustra la característica principal de los operadores de escalera en mecánica cuántica: el incremento (o decremento) de un número cuántico, lo que permite mapear un estado cuántico sobre otro. Por esta razón, a menudo se les conoce como operadores de creación y aniquilación.

Para obtener los valores de α y β , primero tome la norma de cada operador, reconociendo que J + y J − son un par conjugado hermitiano (J±=J∓†{\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}): ⟨jmetro|J+†J+|jmetro⟩=⟨jmetro|J−J+|jmetro⟩=⟨j(metro+1)|α∗α|j(metro+1)⟩=|α|2,⟨jmetro|J−†J−|jmetro⟩=⟨jmetro|J+J−|jmetro⟩=⟨j(metro−1)|β∗β|j(metro−1)⟩=|β|2.{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}

El producto de los operadores de escalera se puede expresar en términos del par conmutativo J 2 y J z : J−J+=(Jincógnita−iJy)(Jincógnita+iJy)=Jincógnita2+Jy2+i[Jincógnita,Jy]=J2−Jz2−ℏJz,J+J−=(Jincógnita+iJy)(Jincógnita−iJy)=Jincógnita2+Jy2−i[Jincógnita,Jy]=J2−Jz2+ℏJz.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}

Así, se pueden expresar los valores de | α | 2 y | β | 2 en términos de los autovalores de J 2 y J z : |α|2=ℏ2j(j+1)−ℏ2metro2−ℏ2metro=ℏ2(j−metro)(j+metro+1),|β|2=ℏ2j(j+1)−ℏ2metro2+ℏ2metro=ℏ2(j+metro)(j−metro+1).{\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}

Las fases de α y β no son físicamente significativas, por lo que se pueden elegir como positivas y reales ( convención de fase de Condon-Shortley ). Entonces tenemos [ 4 ]J+|j,metro⟩=ℏ(j−metro)(j+metro+1)|j,metro+1⟩=ℏj(j+1)−metro(metro+1)|j,metro+1⟩,J−|j,metro⟩=ℏ(j+metro)(j−metro+1)|j,metro−1⟩=ℏj(j+1)−metro(metro−1)|j,metro−1⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}

Confirmando que m está acotado por el valor de j (−j≤metro≤j{\displaystyle -j\leq m\leq j}), uno tiene J+|j,+j⟩=0,J−|j,−j⟩=0.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}

La demostración anterior es, en efecto, la construcción de los coeficientes de Clebsch-Gordan .

Aplicaciones en física atómica y molecular

Muchos términos en los hamiltonianos de sistemas atómicos o moleculares involucran el producto escalar de operadores de momento angular. Un ejemplo es el término de dipolo magnético en el hamiltoniano hiperfino : [ 5 ]H^D=A^I⋅J,{\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,} donde yo es el giro nuclear.

El álgebra del momento angular a menudo se puede simplificar reformulándola en la base esférica . Usando la notación de operadores tensoriales esféricos , los componentes "−1", "0" y "+1" de J (1) ≡ J vienen dados por [ 6 ].J−1(1)=12(Jincógnita−iJy)=J−2,J0(1)=Jz,J+1(1)=−12(Jincógnita+iJy)=−J+2.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}

A partir de estas definiciones, se puede demostrar que el producto escalar anterior se puede expandir como I(1)⋅J(1)=∑norte=−1+1(−1)norteInorte(1)J−norte(1)=I0(1)J0(1)−I−1(1)J+1(1)−I+1(1)J−1(1).{\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}

La importancia de esta expansión radica en que indica claramente qué estados están acoplados por este término en el hamiltoniano, es decir, aquellos con números cuánticos que difieren únicamente en m i = ±1 y m j = ∓1 .

oscilador armónico

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento cuántico-mecánico del oscilador armónico. Podemos definir los operadores de descenso y ascenso como a^=metroω2ℏ(incógnita^+imetroωpag^),a^†=metroω2ℏ(incógnita^−imetroωpag^).{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}

Proporcionan un medio conveniente para extraer los valores propios de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial del sistema .

Operador de escalera aplicado a los niveles de energía del oscilador armónico: a^†|norte⟩=norte+1|norte+1⟩,a^|norte⟩=norte|norte−1⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}

Átomo similar al hidrógeno

En la literatura se presentan dos enfoques principales que utilizan operadores de escalera: uno que utiliza el vector de Laplace-Runge-Lenz y otro que utiliza la factorización del hamiltoniano.

Vector de Laplace-Runge-Lenz

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico de la energía electrónica de átomos e iones similares al hidrógeno. El vector de Laplace-Runge-Lenz conmuta con el hamiltoniano para un potencial esféricamente simétrico inverso al cuadrado y puede usarse para determinar operadores de escalera para este potencial. [ 7 ] [ 8 ] Podemos definir los operadores de descenso y ascenso (basados ​​en el vector clásico de Laplace-Runge-Lenz ) A→=(1Zmi2μ){L→×pag→−iℏpag→}+r→r,{\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},} dóndeL→{\displaystyle {\vec {L}}}es el momento angular,pag→{\displaystyle {\vec {p}}}es el momento lineal,μ{\displaystyle \mu }es la masa reducida del sistema,mi{\displaystyle e}es la carga electrónica, yZ{\displaystyle Z}es el número atómico del núcleo. De forma análoga a los operadores de escalera de momento angular, se tieneA+=Aincógnita+iAy{\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}yA−=Aincógnita−iAy{\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}.

Los conmutadores necesarios para continuar son [A±,Lz]=∓iℏA∓{\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }} y [A±,L2]=∓2ℏ2A±−2ℏA±Lz±2ℏAzL±.{\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.} Por lo tanto, A+|¿,ℓ,metroℓ⟩→|¿,ℓ,metroℓ+1⟩{\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle } y −L2(A+|¿,ℓ,ℓ⟩)=−ℏ2(ℓ+1)((ℓ+1)+1)(A+|¿,ℓ,ℓ⟩),{\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),} entonces A+|¿,ℓ,ℓ⟩→|¿,ℓ+1,ℓ+1⟩,{\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,} donde el signo "?" indica un número cuántico naciente que surge de la discusión.

Dadas las ecuaciones de Pauli [ 9 ] [ 10 ] IV: 1−A⋅A=−(2miμZ2mi4)(L2+ℏ2){\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})} y III: (A×A)j=−(2iℏmiμZ2mi4)Lj,{\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},} y comenzando con la ecuación A−A+|ℓ∗,ℓ∗⟩=0{\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0} y expandiendo, se obtiene (suponiendoℓ∗{\displaystyle \ell ^{*}}es el valor máximo del número cuántico de momento angular que cumple con todas las demás condiciones) (1+2miμZ2mi4(L2+ℏ2)−i2iℏmiμZ2mi4Lz)|¿,ℓ∗,ℓ∗⟩=0,{\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,} lo que lleva a la fórmula de Rydbergminorte=−μZ2mi42ℏ2(ℓ∗+1)2,{\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},} lo que implica queℓ∗+1=norte=¿{\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}, dóndenorte{\displaystyle n}es el número cuántico tradicional.

Factorización del hamiltoniano

El hamiltoniano para un potencial tipo hidrógeno se puede escribir en coordenadas esféricas como H=12μ[pagr2+1r2L2]+V(r),{\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),} dóndeV(r)=−Zmi2/r{\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}y el momento radial pagr=incógnitarpagincógnita+yrpagy+zrpagz,{\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},} que es real y autoconjugado.

Suponer|nortel⟩{\displaystyle |nl\rangle }es un vector propio del hamiltoniano, dondel{\displaystyle l}es el momento angular, ynorte{\displaystyle n}representa la energía, por lo tantoL2|nortel⟩=l(l+1)ℏ2|nortel⟩{\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }y podemos etiquetar el hamiltoniano comoHl{\displaystyle H_{l}}: Hl=12μ[pagr2+1r2l(l+1)ℏ2]+V(r).{\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}

El método de factorización fue desarrollado por Infeld y Hull [ 11 ] para ecuaciones diferenciales. Newmarch y Golding [ 12 ] lo aplicaron a potenciales con simetría esférica utilizando notación de operadores.

Supongamos que podemos encontrar una factorización del hamiltoniano mediante operadores.dol{\displaystyle C_{l}}como

y doldol∗=2μHl+1+GRAMOl{\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}} para escalaresFl{\displaystyle F_{l}}yGRAMOl{\displaystyle G_{l}}. El vectordoldol∗dol|nortel⟩{\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }puede evaluarse de dos maneras diferentes como doldol∗dol|nortel⟩=(2μmilnorte+Fl)dol|nortel⟩=(2μHl+1+GRAMOl)dol|nortel⟩,{\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}} que se pueden reorganizar como Hl+1(dol|nortel⟩)=[milnorte+(Fl−GRAMOl)/(2μ)](dol|nortel⟩),{\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),} demostrando quedol|nortel⟩{\displaystyle C_{l}|nl\rangle }es un autoestado deHl+1{\displaystyle H_{l+1}}con valor propio mil+1norte′=milnorte+(Fl−GRAMOl)/(2μ).{\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).} SiFl=GRAMOl{\displaystyle F_{l}=G_{l}}, entoncesnorte′=norte{\displaystyle n'=n}y los estados|nortel⟩{\displaystyle |nl\rangle }ydol|nortel⟩{\displaystyle C_{l}|nl\rangle } tienen la misma energía.

Para el átomo hidrogenoso, estableciendo V(r)=−Bℏμr{\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}} con B=Zμmi2ℏ,{\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},} una ecuación adecuada paradol{\displaystyle C_{l}}es dol=pagr+iℏ(l+1)r−iBl+1{\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}} con Fl=GRAMOl=B2(l+1)2.{\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.} Existe un límite superior para el operador de escalera si la energía es negativa (por lo tanto,dol|nortelmáximo⟩=0{\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0} para algunoslmáximo{\displaystyle l_{\text{max}}}), entonces si se deduce de la ecuación ( 1 ) que milnorte=−Fl/2μ=−B22μ(lmáximo+1)2=−μZ2mi42ℏ2(lmáximo+1)2,{\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},} ynorte{\displaystyle n}puede identificarse conlmáximo+1.{\displaystyle l_{\text{max}}+1.}

Relación con la teoría de grupos

Siempre que hay degeneración en un sistema, suele haber una propiedad de simetría y un grupo relacionados. La degeneración de los niveles de energía para el mismo valor denorte{\displaystyle n}pero se han identificado diferentes momentos angulares como la simetría SO(4) del potencial de Coulomb con simetría esférica. [ 13 ] [ 14 ]

oscilador armónico isotrópico 3D

El oscilador armónico isotrópico 3D tiene un potencial dado por V(r)=12μω2r2.{\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}

De forma similar, puede gestionarse utilizando el método de factorización.

Método de factorización

Una factorización adecuada viene dada por [ 12 ].dol=pagr+iℏ(l+1)r−iμωr{\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r} con Fl=−(2l+3)μωℏ{\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar } y GRAMOl=−(2l+1)μωℏ.{\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .} Entonces mil+1norte′=milnorte+Fl−GRAMOl2μ=milnorte−ωℏ,{\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,} y continuando con esto, mil+2norte′=milnorte−2ωℏmil+3norte′=milnorte−3ωℏ⋮{\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}} Ahora el hamiltoniano solo tiene niveles de energía positivos como se puede ver en ⟨ψ|2μHl|ψ⟩=⟨ψ|dol∗dol|ψ⟩+⟨ψ|(2l+3)μωℏ|ψ⟩=⟨dolψ|dolψ⟩+(2l+3)μωℏ⟨ψ|ψ⟩≥0.{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}} Esto significa que para algún valor del{\displaystyle l}La serie debe terminar condolmáximo|nortelmáximo⟩=0,{\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,} y luego milmáximonorte=−Flmáximo2μ=(lmáximo+32)ωℏ.{\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .} Esto está disminuyendo en energía porωℏ{\displaystyle \omega \hbar }a menos quedol|norte,l⟩=0{\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}para algún valor del{\displaystyle l}. Identificar este valor comonorte{\displaystyle n}da milnorte=−Fl=(norte+32)ωℏ.{\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}

A continuación sigue elnorte′=norte−1{\displaystyle n'=n-1}de modo que dol|nortel⟩=λlnorte|norte−1,l+1⟩,{\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,} dando una relación de recursión enλ{\displaystyle \lambda }con solución λlnorte=−μωℏ2(norte−l).{\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}

Existe degeneración causada por el momento angular; existe degeneración adicional causada por el potencial del oscilador. Consideremos los estados|norte,norte⟩,|norte−1,norte−1⟩,|norte−2,norte−2⟩,…{\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots } y aplicar los operadores de descensodo∗{\displaystyle C^{*}}: donorte−2∗|norte−1,norte−1⟩,donorte−4∗donorte−3∗|norte−2,norte−2⟩,…{\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }dando la secuencia|norte,norte⟩,|norte,norte−2⟩,|norte,norte−4⟩,…{\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots } con la misma energía pero conl{\displaystyle l}disminuyendo en 2. Además de la degeneración del momento angular, esto da una degeneración total de(norte+1)(norte+2)/2{\displaystyle (n+1)(n+2)/2}[ 15 ]

Relación con la teoría de grupos

Las degeneraciones del oscilador armónico isotrópico 3D están relacionadas con el grupo unitario especial SU(3) [ 15 ] [ 16 ]

Historia

Muchas fuentes atribuyen a Paul Dirac la invención de los operadores de escalera. [ 17 ] El uso que hizo Dirac de los operadores de escalera muestra que el número cuántico de momento angular totalj{\displaystyle j}debe ser un múltiplo semi - entero no negativo de ħ .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
  2. ↑ Harris, Fulton, Teoría de la representaciónpágs. 164
  3. ↑ de Lange, OL; RE Raab (1986). "Operadores de escalera para el momento angular orbital". American Journal of Physics . 54 (4): 372– 375. Bibcode : 1986AmJPh..54..372D . doi : 10.1119/1.14625 .
  4. ↑ Sakurai, Jun J. (1994). Mecánica cuántica moderna . Delhi, India: Pearson Education, Inc. pág. 192. ISBN  81-7808-006-0.
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