Identidad de Lagrange (problema de valores en la frontera)

En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus problemas de contorno asociados en matemáticas, la identidad de Lagrange , que recibe su nombre de Joseph Louis Lagrange , proporciona los términos de contorno que surgen de la integración por partes de un operador diferencial lineal autoadjunto . La identidad de Lagrange es fundamental en la teoría de Sturm-Liouville . Cuando hay más de una variable independiente, la identidad de Lagrange se generaliza mediante la segunda identidad de Green .

En términos generales, la identidad de Lagrange para cualquier par de funciones u y v en el espacio de funciones C ² (es decir, dos veces diferenciable) en n dimensiones es: ^{[ 1 ]} donde: y $${\displaystyle vL[u]-uL^{*}[v]=\nabla \cdot {\boldsymbol {M}},}$$$${\displaystyle M_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(v{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}-u{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}}\right)+uv\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial x_{j}}}\right),}$$$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}M_{i},}$$

El operador L y su operador adjunto L ^* vienen dados por: y $${\displaystyle L[u]=\sum _{i,\ j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu}$$$${\displaystyle L^{*}[v]=\sum _{i,\ j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}(a_{i,j}v)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial (b_{i}v)}{\partial x_{i}}}+cv.}$$

Si la identidad de Lagrange se integra sobre una región acotada, entonces el teorema de la divergencia se puede utilizar para formar la segunda identidad de Green de la siguiente forma: $${\displaystyle \int _{\Omega }vL[u]\,d\Omega =\int _{\Omega }uL^{*}[v]\ d\Omega +\int _{S}{\boldsymbol {M\cdot n}}\,dS,}$$

donde S es la superficie que delimita el volumen Ω y n es la normal unitaria exterior a la superficie S.

Cualquier ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de la forma: puede expresarse en la forma: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle a(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b(x){\frac {dy}{dx}}+c(x)y+\lambda w(x)y=0,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy}{dx}}\right)+\left(q(x)+\lambda w(x)\right)y(x)=0.}$$

Esta forma general motiva la introducción del operador de Sturm-Liouville L , definido como una operación sobre una función f tal que: $${\displaystyle Lf={\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {df}{dx}}\right)+q(x)f.}$$

Se puede demostrar que para cualquier u y v para los cuales existen las diversas derivadas, se cumple la identidad de Lagrange para ecuaciones diferenciales ordinarias: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right)\right].}$$

Para ecuaciones diferenciales ordinarias definidas en el intervalo [0, 1], la identidad de Lagrange se puede integrar para obtener una forma integral (también conocida como fórmula de Green): ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$$

donde , , y son funciones de . y tienen segundas derivadas continuas en el intervalo .${\displaystyle p=P(x)}$${\displaystyle q=Q(x)}$${\displaystyle u=U(x)}$${\displaystyle v=V(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle [0,1]}$

Tenemos: y $${\displaystyle uLv=u\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)+q(x)v\right],}$$$${\displaystyle vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right)+q(x)u\right].}$$

Restando: $${\displaystyle uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)-v{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right).}$$

Los términos principales multiplicados u y v pueden moverse dentro de la diferenciación, porque los términos diferenciados adicionales en u y v son los mismos en los dos términos restados y simplemente se cancelan entre sí. Por lo tanto, que es la identidad de Lagrange. Integrando de cero a uno: como se iba a demostrar. $${\displaystyle {\begin{aligned}uLv-vLu&={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),\\&={\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$$