número de Lagrange

En matemáticas , los números de Lagrange ( A382098 y A382099 en la OEIS ) son una secuencia de números que aparecen en límites relacionados con la aproximación de números irracionales mediante números racionales . Están vinculados al teorema de Hurwitz .

Hurwitz mejoró el criterio de Peter Gustav Lejeune Dirichlet sobre la irracionalidad a la afirmación de que un número real${\displaystyle \alpha }$es irracional si y solo si existen infinitos números racionales${\textstyle {\frac {p}{q}}}$, escrito en los términos más sencillos, de tal manera que

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}}$.

Esto supuso una mejora respecto al resultado de Dirichlet, que había...${\textstyle {\frac {1}{q^{2}}}}$en el lado derecho. El resultado anterior es el mejor posible, ya que la proporción áurea${\displaystyle \varphi }$es irracional. Si reemplazamos${\displaystyle {\sqrt {5}}}$con cualquier número mayor en la expresión anterior, solo podremos encontrar un número finito de números racionales que satisfagan la desigualdad para${\displaystyle \alpha =\varphi}$.

Hurwitz también demostró que si omitimos${\displaystyle \varphi }$(y los números derivados de ellos), podemos aumentar el${\displaystyle {\sqrt {5}}}$a${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$. Nuevamente, este nuevo límite es el mejor posible, esta vez con${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ser el problema. Si omitimos${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, podemos aumentar aún más el${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$a${\textstyle {\frac {\sqrt {221}}{5}}}$Repitiendo este proceso obtenemos la serie infinita${\textstyle {\sqrt {5}},\;2{\sqrt {2}},\;{\frac {\sqrt {221}}{5}},\;{\frac {\sqrt {1517}}{13}},\;\ldots }$que converge a 3. ^{[ 1 ]} Estos son los números de Lagrange , ^{[ 2 ]} llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange .

El${\displaystyle n}$número de Lagrange${\displaystyle L_{n}}$es dado por

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{M_{n}^{2}}}}}}$

dónde${\displaystyle M_{n}}$es el${\displaystyle n}$el número de Markov ^{[ 3 ]} —el${\displaystyle n}$el enésimo entero más pequeño${\displaystyle m}$de tal manera que la ecuación

${\displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy}$

tiene solución en números enteros positivos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol.  45. Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 . 
• Conway, JH ; Guy, RK (1996). El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-97993-X.

• Número de Lagrange . De MathWorld en Wolfram Research .
• Introducción a los métodos diofánticos, irracionalidad y trascendencia. Archivado el 9 de febrero de 2012 en Wayback Machine : notas de clase en línea de Michel Waldschmidt , números de Lagrange en las páginas  24-26.