Teorema de reversión de Lagrange

En matemáticas , el teorema de reversión de Lagrange proporciona desarrollos en series o series de potencias formales de ciertas funciones definidas implícitamente ; de ​​hecho, de composiciones con dichas funciones.

Sea v una función de x e y en términos de otra función f tal que

${\displaystyle v=x+yf(v)}$

Entonces, para cualquier función g , para un valor de y suficientemente pequeño :

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}({\frac {\parcial }{\parcial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).}$

Si g es la identidad, esto se convierte en

${\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}({\frac {\parcial }{\parcial x}})^{k-1}(f(x)^{k})}$

En cuyo caso la ecuación se puede derivar utilizando la teoría de perturbaciones .

En 1770, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publicó su solución en serie de potencias de la ecuación implícita para v mencionada anteriormente. Sin embargo, su solución utilizó engorrosas expansiones en serie de logaritmos. ^{[1] [2]} En 1780, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) publicó una prueba más simple del teorema, que se basaba en relaciones entre derivadas parciales con respecto a la variable x y el parámetro y. ^{[3] [4] [5]} Charles Hermite (1822-1901) presentó la prueba más directa del teorema utilizando la integración de contorno. ^{[6] [7] [8]}

El teorema de reversión de Lagrange se utiliza para obtener soluciones numéricas de la ecuación de Kepler .

Empezamos escribiendo:

${\displaystyle g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz}$

Escribiendo la función delta como una integral tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(ik[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(ikyf(z))^{n}}{ n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\ suma _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{alineado}}}$

La integral sobre k entonces da y tenemos: ${\displaystyle \delta(xz)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\parcial }{\parcial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\parcial }{\parcial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{alineado}}}$

Reorganizando la suma y cancelando se obtiene el resultado:

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}({\frac {\parcial }{\parcial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)}$

• Teorema de inversión de Lagrange (reversión) en MathWorld
• Expansión de Cornish-Fisher, una aplicación del teorema
• El artículo sobre la ecuación del tiempo contiene una aplicación de la ecuación de Kepler.