Número de Lah

En matemáticas , los números de Lah (con signo y sin signo) son coeficientes que expresan factoriales ascendentes en términos de factoriales descendentes y viceversa. Fueron descubiertos por Ivo Lah en 1954. ^{[1] [2]} Explícitamente, los números de Lah sin signo se dan mediante la fórmula que involucra el coeficiente binomial${\estilo de visualización L(n,k)}$

$${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$$

para . ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$

Los números Lah sin signo tienen un significado interesante en combinatoria : cuentan la cantidad de formas en que un conjunto de elementos puede dividirse en subconjuntos ordenados linealmente no vacíos . ^[3] Los números Lah están relacionados con los números de Stirling . ^[4]${\textstyle n}$${\textstyle k}$

Para , el número Lah es igual al factorial en la interpretación anterior, la única partición de en 1 conjunto puede tener su conjunto ordenado de 6 maneras: es igual a 6, porque hay seis particiones de en dos partes ordenadas: es siempre 1 porque la única manera de particionar en subconjuntos no vacíos da como resultado subconjuntos de tamaño 1, que solo se pueden permutar de una manera. En la literatura más reciente, ^{[5] [6] la notación de estilo} Karamata – Knuth ha tomado el control. Los números Lah ahora se escriben a menudo como${\textstyle n\geq 1}$${\textstyle L(n,1)}$ ${\textstyle n!}$${\textstyle \{1,2,3\}}$$${\displaystyle \{(1,2,3)\},\{(1,3,2)\},\{(2,1,3)\},\{(2,3,1)\} ,\{(3,1,2)\},\{(3,2,1)\}}$$${\textstyle L(3,2)}$${\textstyle \{1,2,3\}}$$${\displaystyle \{1,(2,3)\},\{1,(3,2)\},\{2,(1,3)\},\{2,(3,1)\} ,\{3,(1,2)\},\{3,(2,1)\}}$$${\textstyle L(n,n)}$${\textstyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\estilo de visualización n}$ $${\displaystyle L(n,k)=\left\lfloor {n \encima de k}\right\rfloor }$$

A continuación se muestra una tabla de valores para los números Lah:

Las sumas de las filas son (secuencia A000262 en la OEIS ). ${\textstyle 1,1,3,13,73,501,4051,37633,\puntos}$

Sea , el factorial ascendente y sea , el factorial descendente . Los números Lah son los coeficientes que expresan cada una de estas familias de polinomios en términos de la otra. Explícitamente, y Por ejemplo, y${\textstyle x^{(n)}}$ ${\textstyle x(x+1)(x+2)\cpuntos (x+n-1)}$${\textstyle (x)_{n}}$ ${\textstyle x(x-1)(x-2)\cpuntos (x-n+1)}$$${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$$$${\displaystyle (x)_{n}=\sum _ {k=0}^{n}(-1)^{nk}L(n,k)x^{(k)}.}$$$${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {rojo}6}x+{\color {rojo}6}x(x-1)+{\color {rojo}1}x(x-1)(x-2)}$$$${\displaystyle x(x-1)(x-2)={\color {rojo}6}x-{\color {rojo}6}x(x+1)+{\color {rojo}1}x(x+1)(x+2),}$$

donde los coeficientes 6, 6 y 1 son exactamente los números de Lah , , y . ${\estilo de visualización L(3,1)}$${\estilo de visualización L(3,2)}$${\estilo de visualización L(3,3)}$

Los números de Lah satisfacen una variedad de identidades y relaciones.

En la notación Karamata - Knuth para números de Stirling, donde son los números de Stirling del primer tipo y son los números de Stirling del segundo tipo . $${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \encima de j}\right]\left\{{j \encima de k}\right\}}$$${\textstyle \left[{n \encima de j}\right]}$${\textstyle \left\{{j \encima de k}\right\}}$

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \elija k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \elija k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \elija k}{n-1 \elija k-1}(nk)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(nk)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(nk)!}}}$

${\displaystyle k(k+1)L(n,k+1)=(nk)L(n,k)}$, para .${\displaystyle k>0}$

Los números de Lah satisfacen las relaciones de recurrencia donde , el delta de Kronecker y para todos los . $${\displaystyle {\begin{aligned}L(n+1,k)&=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\\&=k(k+1)L(n,k+1)+2kL(n,k)+L(n,k-1)\end{aligned}}}$$${\displaystyle L(n,0)=\delta _{n}}$${\displaystyle L(n,k)=0}$$estilo de visualización k>n$

${\displaystyle \sum_{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

La derivada n - ésima de la función se puede expresar con los números de Lah, de la siguiente manera ^[7] Por ejemplo, ${\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}$$${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}e^{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {L(n,k)}{x^{n+k}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}.}$$

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}e^{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {-2}{x^{3}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{3}}{{\textrm {d}}x^{3}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}\right)=\left({\frac {-6}{x^{4}}}+{\frac {-4}{x^{5}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}+\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=-\left({\frac {6}{x^{4}}}+{\frac {6}{x^{5}}}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

Los polinomios de Laguerre generalizados están vinculados a los números de Lah al establecer Esta fórmula es el polinomio de Laguerre predeterminado en la convención de cálculo Umbral . ^[8]${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$${\displaystyle \alpha =-1}$$${\displaystyle n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$

En los últimos años, los números de Lah se han utilizado en esteganografía para ocultar datos en imágenes. En comparación con alternativas como DCT , DFT y DWT , tiene una menor complejidad de cálculo: —de sus coeficientes enteros. ^{[9] [10]} Las transformadas de Lah y Laguerre surgen naturalmente en la descripción perturbativa de la dispersión cromática . ^{[11] [12]} En la óptica de Lah-Laguerre, este enfoque acelera enormemente los problemas de optimización. ${\displaystyle O(n\log n)}$

• Números de Stirling
• Matriz de Pascal

• Los números Lah con signo y sin signo son respectivamente (secuencia A008297 en la OEIS ) y (secuencia A105278 en la OEIS ).