El problema de Lambert

En mecánica celeste , el problema de Lambert se refiere a la determinación de una órbita a partir de dos vectores de posición y el tiempo de vuelo. Fue planteado en el siglo XVIII por Johann Heinrich Lambert y resuelto formalmente con demostración matemática por Joseph-Louis Lagrange . Tiene importantes aplicaciones en las áreas de encuentro, localización de objetivos, guiado y determinación preliminar de órbitas. ^{[ 1 ]}

Supongamos que un cuerpo bajo la influencia de una fuerza gravitatoria central se observa viajando desde el punto P ₁ en su trayectoria cónica hasta un punto P ₂ en un tiempo T . El tiempo de vuelo está relacionado con otras variables por el teorema de Lambert, que establece:

El tiempo de transferencia de un cuerpo que se mueve entre dos puntos en una trayectoria cónica es función únicamente de la suma de las distancias de los dos puntos al origen de la fuerza, la distancia lineal entre los puntos y el semieje mayor de la cónica. ^{[ 2 ]}

Dicho de otra manera, el problema de Lambert es el problema de valores en la frontera para la ecuación diferencial.$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$ del problema de dos cuerpos cuando la masa de un cuerpo es infinitesimal ; este subconjunto del problema de dos cuerpos se conoce como la órbita de Kepler .

La formulación precisa del problema de Lambert es la siguiente:

Dos momentos diferentes${\displaystyle t_{1},\,t_{2}}$y dos vectores de posición${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=r_{1}{\hat {\mathbf {r} }}_{1},\,\mathbf {r} _{2}=r_{2}{\hat {\mathbf {r} }}_{2}}$se dan.

Encuentra la solución${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$que satisface la ecuación diferencial anterior para la cual $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t_{1})=\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} (t_{2})=\mathbf {r} _{2}\end{aligned}}}$$

Los tres puntos

• ${\displaystyle F_{1}}$, el centro de atracción,
• ${\displaystyle P_{1}}$, el punto correspondiente al vector${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$,
• ${\displaystyle P_{2}}$, el punto correspondiente al vector${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$,

forman un triángulo en el plano definido por los vectores${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$y${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$como se ilustra en la figura 1. La distancia entre los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$es${\displaystyle 2d}$, la distancia entre los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle F_{1}}$es${\displaystyle r_{1}=r_{m}-A}$y la distancia entre los puntos${\displaystyle P_{2}}$y${\displaystyle F_{1}}$es${\displaystyle r_{2}=r_{m}+A}$. El valor${\displaystyle A}$es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$que está más lejos del punto${\displaystyle F_{1}}$El problema geométrico a resolver consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$y tener un enfoque en el punto${\displaystyle F_{1}}$

Los puntos${\displaystyle F_{1}}$,${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$define una hipérbola que pasa por el punto${\displaystyle F_{1}}$con focos en los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$. El punto${\displaystyle F_{1}}$está en la rama izquierda o en la rama derecha de la hipérbola dependiendo del signo de${\displaystyle A}$. El semieje mayor de esta hipérbola es${\displaystyle |A|}$y la excentricidad${\displaystyle E}$es${\textstyle {\frac {d}{|A|}}}$Esta hipérbola se ilustra en la figura 2.

En relación con el sistema de coordenadas canónico usual definido por los ejes mayor y menor de la hipérbola, su ecuación es

con

Para cualquier punto en la misma rama de la hipérbola como${\displaystyle F_{1}}$la diferencia entre las distancias${\displaystyle r_{2}}$señalar${\displaystyle P_{2}}$y${\displaystyle r_{1}}$señalar${\displaystyle P_{1}}$es

Por cualquier punto${\displaystyle F_{2}}$en la otra rama de la hipérbola la relación correspondiente es

es decir

Pero esto significa que los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$ambos están en la elipse que tiene los puntos focales${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$y el semieje mayor

La elipse correspondiente a un punto seleccionado arbitrariamente${\displaystyle F_{2}}$Se muestra en la figura 3.

Primero se separan los casos en que el polo orbital está en la dirección${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$o en la dirección${\displaystyle -\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$. En el primer caso el ángulo de transferencia${\displaystyle \alpha }$para el primer paso a través${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$estará en el intervalo${\displaystyle 0<\alpha <180^{\circ }}$y en el segundo caso estará en el intervalo${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$. Entonces${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$seguirá pasando por${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$cada revolución orbital.

En caso${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$es cero, es decir${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$tienen direcciones opuestas, todos los planos orbitales que contienen la línea correspondiente son igualmente adecuados y el ángulo de transferencia${\displaystyle \alpha }$para el primer paso a través${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$será${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Para cualquier${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle 0<\alpha <\infty }$el triángulo formado por${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$y${\displaystyle F_{1}}$son como en la figura 1 con

y el semieje mayor (¡con signo!) de la hipérbola analizada anteriormente es

La excentricidad (¡con signo!) para la hipérbola es

y el semieje menor es

Las coordenadas del punto${\displaystyle F_{1}}$en relación con el sistema de coordenadas canónicas para la hipérbola son (nótese que${\displaystyle E}$tiene el signo de${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$)

dónde

Utilizando la coordenada y del punto${\displaystyle F_{2}}$en la otra rama de la hipérbola como parámetro libre la coordenada x de${\displaystyle F_{2}}$es (tenga en cuenta que${\displaystyle A}$tiene el signo de${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$)

El semieje mayor de la elipse que pasa por los puntos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$tener los focos${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$es

La distancia entre los focos es

y la excentricidad es, en consecuencia

La verdadera anomalía${\displaystyle \theta _{1}}$en el punto${\displaystyle P_{1}}$depende de la dirección del movimiento, es decir, si${\displaystyle \sin \alpha }$es positivo o negativo. En ambos casos se tiene que

dónde

es el vector unitario en la dirección desde${\displaystyle F_{2}}$a${\displaystyle F_{1}}$expresado en coordenadas canónicas.

Si${\displaystyle \sin \alpha }$es positivo entonces

Si${\displaystyle \sin \alpha }$entonces es negativo

Con

• semieje mayor
• excentricidad
• anomalía verdadera inicial

siendo conocidas las funciones del parámetro y el tiempo para que la verdadera anomalía aumente con la cantidad${\displaystyle \alpha }$también es una función conocida de y. Si${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$está en el rango que se puede obtener con una órbita elíptica de Kepler el valor y correspondiente se puede encontrar luego usando un algoritmo iterativo.

En el caso especial que${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$(o muy cerca)${\displaystyle A=0}$y la hipérbola con dos ramas se deteriora en una sola línea ortogonal a la línea entre${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$con la ecuación

Las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) se reemplazan entonces por

( 14 ) es reemplazado por

y ( 15 ) se reemplaza por

Supongamos los siguientes valores para una órbita de Kepler centrada en la Tierra.

• r ₁ = 10000  km
• r ₂ = 16000  km
• α = 100°

Estos son los valores numéricos que corresponden a las figuras 1, 2 y 3.

Seleccionando el parámetro y como 30000  km se obtiene un tiempo de transferencia de 3072 segundos suponiendo que la constante gravitacional sea${\displaystyle \mu }$= 398603  km ³ /s ^{2 .} Los elementos orbitales correspondientes son

• semieje mayor = 23001  km
• excentricidad = 0,566613
• Anomalía verdadera en el instante t ₁ = − 7,577°
• Anomalía verdadera en el instante t ₂ = 92,423°

Este valor de y corresponde a la Figura 3.

Con

• r ₁ = 10000  km
• r ₂ = 16000  km
• α = 260°

uno obtiene la misma elipse con la dirección opuesta del movimiento, es decir

• Anomalía verdadera en el instante t ₁ = 7,577°
• Anomalía verdadera en el tiempo t ₂ = 267,577° = 360° − 92,423°

y un tiempo de transferencia de 31645 segundos.

Las componentes de velocidad radial y tangencial se pueden calcular con las fórmulas (véase el artículo sobre la órbita de Kepler ).$${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\,e\sin(\theta )}$$$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\left(1+e\cos \theta \right).}$$

Los tiempos de transferencia de P ₁ a P ₂ para otros valores de y se muestran en la Figura 4.

El uso más típico de este algoritmo para resolver el problema de Lambert es, sin duda, el diseño de misiones interplanetarias. Una nave espacial que viaja de la Tierra a, por ejemplo, Marte, puede considerarse, en primera aproximación, que sigue una órbita elíptica heliocéntrica de Kepler desde la posición de la Tierra en el momento del lanzamiento hasta la posición de Marte en el momento de la llegada. Al comparar el vector de velocidad inicial y final de esta órbita heliocéntrica de Kepler con los vectores de velocidad correspondientes para la Tierra y Marte, se puede obtener una estimación bastante precisa de la energía de lanzamiento requerida y de las maniobras necesarias para la captura en Marte. Este enfoque se utiliza a menudo junto con la aproximación cónica parcheada .

Este método también sirve para determinar la órbita . Si se conocen con precisión dos posiciones de una nave espacial en momentos diferentes (por ejemplo, mediante una señal GPS ), se puede obtener la órbita completa con este algoritmo; es decir, se obtiene una interpolación y una extrapolación de estas dos posiciones.

Es posible parametrizar todas las órbitas posibles que pasan por los dos puntos.${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$utilizando un único parámetro${\displaystyle \gamma }$.

El semi-lato recto${\displaystyle p}$es dado por$${\displaystyle p={\frac {\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|+\left|\mathbf {r} _{2}\right|\right)\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}+\gamma {\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})\right)}{\left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{2}}}}$$

El vector de excentricidad${\displaystyle \mathbf {e} }$es dado por$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\left(\left(|\mathbf {r} _{1}|-|\mathbf {r} _{2}|\right)\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)-\gamma \left(r_{1}+r_{2}\right){\hat {\mathbf {N} }}\times (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\right)}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{2}}}}$$ dónde${\textstyle {\hat {\mathbf {N} }}=\pm {\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}\right|}}}$es la normal a la órbita. Dos valores especiales de${\displaystyle \gamma }$existe

El extremo${\displaystyle \gamma }$:$${\displaystyle \gamma _{0}=-{\frac {\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}}{{\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})}}}$$

El${\displaystyle \gamma }$que produce una parábola:$${\displaystyle \gamma _{p}={\frac {\sqrt {2\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}\right)}}{\left|\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\right|}}}$$

• Desde MATLAB central
• PyKEP es una biblioteca de Python para mecánica de vuelos espaciales y astrodinámica (contiene un solucionador de Lambert, implementado en C++ y accesible a Python mediante Boost.Python).
• Un sencillo solucionador de Lambert bidimensional/trazador de órbitas en Microsoft Excel.

• El teorema de Lambert desde una perspectiva afín . Artículo de Alain Albouy que incluye un análisis moderno del problema de Lambert y una cronología histórica. arXiv : 1711.03049
• El problema de Lambert en dinámica orbital: una introducción autocontenida . Artículo de Lenox Baloglou, Parneet Gill y Tonatiuh Sánchez-Vizuet que presenta una descripción exhaustiva del problema que conduce al algoritmo de solución de Lagrange. Este texto divulgativo presupone conocimientos básicos de física y matemáticas. (Versión de revista) arXiv : 2506.10556
• Conectando los puntos... encontrando todas las órbitas posibles entre dos puntos . Eur. J. Phys. 46, 045004 (2025). Artículo de PR Blanco que simplifica el ajuste de órbitas en el plano y sugiere una búsqueda numérica en el semi-latus rectum para resolver el problema de Lambert para transferencias directas y progradas. Con materiales complementarios que incluyen un solucionador/graficador de órbitas 2D en MS Excel. doi : 10.1088/1361-6404/ade37d

• Revisando el problema de Lambert . Artículo de Dario Izzo que contiene un algoritmo para proporcionar una estimación precisa para el método iterativo de Householder, tan preciso como el procedimiento de Gooding pero computacionalmente más eficiente. doi : 10.1007/s10569-014-9587-y
• Teorema de Lambert: una solución completa en serie . Artículo de James D. Thorne con una solución algebraica directa basada en la reversión en serie hipergeométrica de todos los casos hiperbólicos y elípticos del problema de Lambert. ^{[ 1 ]}