Campo vectorial lamelar complejo

En cálculo vectorial , un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial ortogonal a una familia de superficies. En el contexto más amplio de la geometría diferencial , los campos vectoriales laminares complejos se denominan más a menudo campos vectoriales hiperortogonales a superficies. Se pueden caracterizar de varias maneras diferentes, muchas de las cuales involucran el rotacional . Un campo vectorial laminar es un caso especial dado por campos vectoriales con rotacional cero.

El adjetivo "lamelar" deriva del sustantivo "lamella", que significa capa delgada. Las láminas a las que se refiere "campo vectorial lamelar" son las superficies de potencial constante o, en el caso complejo, las superficies ortogonales al campo vectorial. ^[1]

En cálculo vectorial , un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial en tres dimensiones que es ortogonal a su propio rotacional . ^[2] Es decir,

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

El término campo vectorial lamelar se utiliza a veces como sinónimo del caso especial de un campo vectorial irrotacional , lo que significa que ^[3]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

Los campos vectoriales lamelares complejos son precisamente aquellos que son normales a una familia de superficies. Un campo vectorial irrotacional es localmente el gradiente de una función y, por lo tanto, es ortogonal a la familia de superficies de nivel (las superficies equipotenciales ). ^[4] Cualquier campo vectorial puede descomponerse como la suma de un campo vectorial irrotacional y un campo lamelar complejo. ^[5]

En términos más generales, se dice que un campo vectorial F en una variedad pseudo-riemanniana es ortogonal a la hipersuperficie si a través de un punto arbitrario hay una hipersuperficie suavemente incrustada que, en todos sus puntos, es ortogonal al campo vectorial. Por el teorema de Frobenius, esto es equivalente a exigir que el corchete de Lie de cualquier campo vectorial suave ortogonal a F siga siendo ortogonal a F . ^[6]

La condición de ortogonalidad de hipersuperficie se puede reformular en términos de la 1-forma diferencial ω que es dual a F . La condición de corchete de Lie dada anteriormente se puede reformular para requerir que la derivada exterior dω , cuando se evalúa en dos vectores tangentes cualesquiera que sean ortogonales a F , sea cero. ^[6] Esto también se puede formular como el requisito de que exista una 1-forma suave cuyo producto de cuña con ω sea igual a dω . ^[7]

Alternativamente, esto puede escribirse como la condición de que la 3-forma diferencial ω ∧ dω sea cero. Esto también puede expresarse, en términos de la conexión de Levi-Civita definida por la métrica, como que la parte totalmente antisimétrica del campo 3-tensor ω _i ∇ _j ω _k sea cero. ^[8] Usando una formulación diferente del teorema de Frobenius, también es equivalente a requerir que ω sea expresable localmente como λ d u para algunas funciones λ y u . ^[9]

En el caso especial de los campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional , la condición hiperortogonal a la superficie es equivalente a la condición lamelar compleja, como se ve al reescribir ω ∧ dω en términos del operador de estrella de Hodge como ∗⟨ω, ∗dω⟩ , donde ∗dω es el dual de 1 forma del campo vectorial rotacional. ^[10]

Los campos vectoriales hiperortogonales a la superficie son particularmente importantes en la relatividad general , donde (entre otras razones) la existencia de un campo vectorial de Killing que sea hiperortogonal a la superficie es uno de los requisitos de un espacio-tiempo estático . ^[11] En este contexto, la hiperortogonalidad a veces se denomina irrotacionalidad , aunque esto está en conflicto con el uso estándar en tres dimensiones. ^[12] Otro nombre es libre de rotación . ^[13]

Una noción aún más general, en el lenguaje de los sistemas pfaffianos , es la de una 1-forma ω completamente integrable , que equivale a la condición ω ∧ dω = 0 como se dio anteriormente. ^[14] En este contexto, no hay métrica y, por lo tanto, no existe la noción de "ortogonalidad".

• Campo vectorial de Beltrami
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