Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Teorema de Bloch (análisis complejo)

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Bloch describe el comportamiento de las funciones holomorfas definidas en el disco unitario . Proporciona u...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Bloch describe el comportamiento de las funciones holomorfas definidas en el disco unitario . Proporciona una cota inferior para el tamaño de un disco en el que existe la inversa de una función holomorfa. Recibe su nombre de André Bloch .

Declaración

Sea f una función holomorfa en el disco unitario | z |  ≤  1 para la cual

|F′(0)|=1{\displaystyle |f'(0)|=1}

El teorema de Bloch establece que existe un disco S ⊂ D en el que f es biholomorfo y f(S) contiene un disco con radio 1/72.

Teorema de Landau

Si f es una función holomorfa en el disco unitario con la propiedad | f′ (0)| = 1, entonces sea L f el radio del disco más grande contenido en la imagen de f .

El teorema de Landau establece que existe una constante L definida como el ínfimo de L f sobre todas esas funciones f , y que L es mayor que la constante de Bloch L ≥ B.

Este teorema recibe su nombre de Edmund Landau .

El teorema de Valiron

El teorema de Bloch se inspiró en el siguiente teorema de Georges Valiron :

Teorema. Si f es una función entera no constante, entonces existen discos D de radio arbitrariamente grande y funciones analíticas φ en D tales que f (φ( z ))  = z para z en D . 

El teorema de Bloch se corresponde con el teorema de Valiron a través del principio de Bloch .

Prueba

Teorema de Landau

Primero demostramos el caso en que f (0) = 0, f′ (0) = 1 y | f′ ( z )| ≤ 2 en el disco unitario.

Según la fórmula integral de Cauchy , tenemos un límite

|F″(z)|=|12πi∮γF′(w)(w−z)2dw|≤12π⋅2πrsorberw=γ(t)|F′(w)||w−z|2≤2r,{\displaystyle |f''(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(w)}{(wz)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma (t)}{\frac {|f'(w)|}{|wz|^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},}

donde γ es el círculo en sentido antihorario de radio r alrededor de z , y 0 < r < 1 − | z |.

Según el teorema de Taylor , para cada z en el disco unitario, existe 0 ≤ t ≤ 1 tal que f ( z ) = z + z 2 f″ ( tz ) / 2.

Por lo tanto, si | z | = 1/3 y | w | < 1/6, tenemos

|(F(z)−w)−(z−w)|=12|z|2|F″(tz)|≤|z|21−t|z|≤|z|21−|z|=16<|z|−|w|≤|z−w|.{\displaystyle |(f(z)-w)-(zw)|={\frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|\leq {\frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}\leq {\frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={\frac {1}{6}}<|z|-|w|\leq |zw|.}

Según el teorema de Rouché , el rango de f contiene el disco de radio 1/6 alrededor de 0.

Sea D ( z 0 , r ) el disco abierto de radio r alrededor de z 0 . Para una función analítica g  : D ( z 0 , r ) → C tal que g ( z 0 ) ≠ 0, el caso anterior aplicado a ( g ( z 0 + rz ) − g ( z 0 )) / ( rg′ (0)) implica que el rango de g contiene D ( g ( z 0 ), | g′ (0)| r / 6).

Para el caso general, sea f una función analítica en el disco unitario tal que | f′ (0)| = 1 y z 0 = 0.

  • Si | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z 0 )| para | z − z 0 | < 1/4, entonces, por el primer caso, el rango de f contiene un disco de radio | f′ (z 0 )| / 24 = 1/24.
  • De lo contrario, existe z 1 tal que | z 1 − z 0 | < 1/4 y | f′ ( z 1 )| > 2| f′ ( z 0 )|.
  • Si | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z 1 )| para | z − z 1 | < 1/8, entonces por el primer caso, el rango de f contiene un disco de radio | f′ ( z 1 )| / 48 > | f′ (z 0 )| / 24 = 1/24.
  • De lo contrario, existe z 2 tal que | z 2 − z 1 | < 1/8 y | f′ ( z 2 )| > 2| f′ ( z 1 )|.

Repitiendo este argumento, o bien encontramos un disco de radio al menos 1/24 en el rango de f , demostrando el teorema, o bien encontramos una secuencia infinita ( z n ) tal que | z n − z n −1 | < 1/2 n +1 y | f′ ( z n )| > 2| f′ ( z n −1 )|.

En este último caso, la secuencia está en D (0, 1/2), por lo que f′ no está acotada en D (0, 1/2), lo cual es una contradicción.

Teorema de Bloch

En la demostración del teorema de Landau anterior, el teorema de Rouché implica que no solo podemos encontrar un disco D de radio al menos 1/24 en el rango de f , sino que también hay un pequeño disco D 0 dentro del disco unitario tal que para cada w ∈ D hay un único z ∈ D 0 con f ( z ) = w . Por lo tanto, f es una función analítica biyectiva de D 0 ∩ f −1 ( D ) a D , por lo que su inversa φ también es analítica por el teorema de la función inversa .

Las constantes de Bloch y Landau

El número B se denomina constante de Bloch . El límite inferior 1/72 del teorema de Bloch no es el óptimo. El teorema de Bloch nos dice que B  ≥  1/72, pero el valor exacto de B aún se desconoce.

Los límites mejor conocidos para B en la actualidad son

0,4332≈34+2×10−4≤B≤3−12⋅Γ(13)Γ(1112)Γ(14)≈0,47186,{\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.47186,}

donde Γ es la función Gamma . El límite inferior fue demostrado por Chen y Gauthier, y el límite superior se remonta a Ahlfors y Grunsky.

La constante óptima L definida de manera similar en el teorema de Landau se llama constante de Landau . Su valor exacto también es desconocido, pero se sabe que

0,5<L≤Γ(13)Γ(56)Γ(16)=0,543258965342...{\displaystyle 0.5<L\leq {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1}{6}})}}=0.543258965342...\,\!}(secuencia A081760 en el OEIS )

En su artículo, Ahlfors y Grunsky conjeturaron que sus límites superiores son en realidad los valores verdaderos de B y L.

Para funciones holomorfas inyectivas en el disco unitario, se puede definir de manera similar una constante A. Se sabe que

0,5<A≤0,7853{\displaystyle 0.5<A\leq 0.7853}

Véase también

Referencias

  • Ahlfors, Lars Valeriano ; Grunsky, Helmut (1937). "Über die Blochsche Konstante". Mathematische Zeitschrift . 42 (1): 671– 673. doi : 10.1007/BF01160101 . S2CID 122925005 . 
  • Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). "Resultados de minimalidad local relacionados con las constantes de Bloch y Landau". Mapeos y análisis cuasiconformes . Ann Arbor: Springer, Nueva York. pp. 55–89 . 
  • Bloch, André (1925). "Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 17 (3): 1– 22. doi : 10.5802/afst.335 . ISSN 0240-2963 . 
  • Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). "Sobre la constante de Bloch". Revista de Análisis Matemático . 69 (1): 275– 291. doi : 10.1007/BF02787110 . S2CID 123739239 . 
  • Landau, Edmund (1929), "Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten", Mathematische Zeitschrift , 30 (1): 608– 634, doi : 10.1007/BF01187791 , S2CID 120877278