La función de Landau

En matemáticas , la función g ( n ) de Landau , que recibe su nombre de Edmund Landau , se define para cada número natural n como el mayor orden de un elemento del grupo simétrico S _n . De forma equivalente, g ( n ) es el mayor mínimo común múltiplo (mcm) de cualquier partición de n , o el número máximo de veces que una permutación de n elementos puede aplicarse recursivamente a sí misma antes de que vuelva a su secuencia inicial.

Por ejemplo, 5 = 2 + 3 y mcm(2,3) = 6. Ninguna otra partición de 5 produce un mcm mayor, por lo que g (5) = 6. Un elemento de orden 6 en el grupo S ₅ se puede escribir en notación cíclica como (1 2) (3 4 5). Nótese que el mismo argumento se aplica al número 6, es decir, g (6)  =  6. Existen secuencias arbitrariamente largas de números consecutivos n , n  +  1, ..., n  + m en las que la función g es constante. ^{[ 1 ]} 

La secuencia de enteros g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6, g (7) = 12, g (8) = 15, ... (secuencia A000793 en la OEIS ) recibe su nombre de Edmund Landau , quien demostró en 1902 ^{[ 2 ]} que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

(donde ln denota el logaritmo natural ). De forma equivalente (usando la notación de o minúscula ),${\displaystyle g(n)=e^{(1+o(1)){\sqrt {n\ln n}}}}$.

Más precisamente, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {n\ln n}}\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{2\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+9}{8(\ln n)^{2}}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{3}\right)\right).}$

Si${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {Li} (x)=O(R(x))}$, dónde${\displaystyle \pi }$denota la función de conteo de números primos ,${\displaystyle \operatorname {Li} }$la función integral logarítmica con inversa${\displaystyle \operatorname {Li} ^{-1}}$y podemos tomar${\displaystyle R(x)=x\exp {\bigl (}-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}{\bigr )}}$para alguna constante c > 0 por Ford, ^{[ 4 ]} entonces ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}+O{\bigl (}R({\sqrt {n\ln n}})\ln n{\bigr )}.}$

La declaración que

${\displaystyle \ln g(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todo n suficientemente grande es equivalente a la hipótesis de Riemann .

Se puede demostrar que

${\displaystyle g(n)\leq e^{n/e}}$

con la única igualdad entre las funciones en n = 0, y de hecho

${\displaystyle g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).}$^{[ 5 ]}

• E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Sobre el orden máximo de permutaciones de un grado dado]", Arch. Matemáticas. Física. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, "El orden máximo de un elemento de un grupo simétrico finito", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, pp.  497 – 506.
• J.-L. Nicolas, "Sobre la función g ( n ) de Landau ", en Las matemáticas de Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag, 1997, págs.  228 – 240.

• Secuencia OEIS A000793 (función de Landau sobre los números naturales)