Distribución de Landau

En teoría de la probabilidad , la distribución de Landau ^[1] es una distribución de probabilidad que recibe su nombre de Lev Landau . Debido a la cola "gruesa" de la distribución, los momentos de la distribución, como la media o la varianza, no están definidos. La distribución es un caso particular de distribución estable .

La función de densidad de probabilidad , tal como la escribió originalmente Landau, está definida por la integral compleja :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ai\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

donde a es un número real positivo arbitrario , lo que significa que la trayectoria de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario, que intersecta el semieje positivo real, y se refiere al logaritmo natural . En otras palabras, es la transformada de Laplace de la función . ${\estilo de visualización \log}$${\displaystyle s^{s}}$

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene extendiendo la distribución original a una familia de distribuciones estables a escala de ubicación con parámetros y , ^[2] con función característica : ^[3]${\displaystyle \alpha = 1}$${\displaystyle \beta = 1}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

donde y , lo que produce una función de densidad: ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$${\displaystyle \mu \in (-\infty,\infty)}$

${\displaystyle p(x;\mu,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$

Tomando y obtenemos la forma original de arriba. ${\displaystyle \mu = 0}$${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$${\estilo de visualización p(x)}$

• Traducción:Si entonces .${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$
• Escalamiento: Si entonces .${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2ac\log(a)}{\pi }},ac)\,}$
• Suma: Si y entonces .${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})}$${\displaystyle Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,}$${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},c_{1}+c_{2})}$

Todas estas propiedades se pueden derivar de la función característica. Juntas, implican que las distribuciones de Landau son cerradas bajo transformaciones afines .

En el caso "estándar" y , la función de densidad de probabilidad se puede aproximar ^[4] utilizando la teoría de Lindhard que dice: ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle c=\pi /2}$

${\displaystyle p(x+\log(x)-1+\gamma )\approx {\frac {\exp(-1/x)}{x(1+x)}},}$

¿Dónde está la constante de Euler ? ${\displaystyle \gamma }$

Una aproximación similar ^[5] de para y es: ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

• La distribución de Landau es una distribución estable con parámetros de estabilidad y de asimetría, ambos iguales a 1.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$