núcleo de Landau

El núcleo de Landau recibe su nombre del teórico de números alemán Edmund Landau . El núcleo es un núcleo de sumabilidad definido como: ^{[ 1 ]}

$L_{n}(t)={\begin{cases}{\frac {(1-t^{2})^{n}}{c_{n}}}&{\text{si }}{-1}\leq t\leq 1\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}$ donde los coeficientes $c_{n}$ se definen de la siguiente manera:

$c_{n}=\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt.$

Visualización

Utilizando la integración por partes, se puede demostrar que: ^{[ 2 ]} $c_{n}={\frac {(n!)^{2}\,2^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)}}.$ Por lo tanto, esto implica que el núcleo de Landau se puede definir de la siguiente manera: $L_{n}(t)={\begin{cases}(1-t^{2})^{n}{\frac {(2n)!(2n+1)}{(n!)^{2}\,2^{2n+1}}}&{\text{para }}t\in [-1,1]\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}$

Al graficar esta función para diferentes valores de n, se observa que a medida que n tiende a infinito, $L_{n}(t)$ se aproxima a la función delta de Dirac como una distribución , como se ve en la imagen, ^{[ 1 ]} donde se grafican las siguientes funciones.

Propiedades

Algunas propiedades generales del núcleo de Landau son que es no negativo y continuo en $\mathbb {R}$ Estas propiedades se concretan con mayor detalle en la siguiente sección.

secuencias de Dirac

Definición: secuencia de Dirac — Una secuencia de Dirac es una secuencia $\{K_{n}(t)\}$ de funciones $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ que satisface las siguientes propiedades:

$K_{n}(t)\geq 0,\,\,\forall t\in \mathbb {R} {\text{ y }}\forall n\in \mathbb {Z}$
$\int _{-\infty }^{\infty }K_{n}(t)\,dt=1,\,\forall n$
$\forall \varepsilon >0\,\forall \delta >0\,\exists N\in \mathbb {Z} _{+}\,\forall n\geq N:$ ${}\quad \int _{\mathbb {R} \smallsetminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{-\delta }K_{n}(t)\,dt+\int _{\delta }^{\infty }K_{n}(t)\,dt<\varepsilon$

El tercer punto significa que el área bajo la gráfica de la función $y=K_{n}(t)$ se concentra cada vez más cerca del origen a medida que n tiende a infinito. Esta definición nos lleva al siguiente teorema.

Teorema : La sucesión de núcleos de Landau es una sucesión de Dirac.

Demostración : Demostramos únicamente la tercera propiedad. Para ello, introducimos el siguiente lema:

Lema — Los coeficientes satisfacen la siguiente relación, $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$

Demostración del lema:

Utilizando la definición de los coeficientes anterior, encontramos que el integrando es par, podemos escribir ${\frac {c_{n}}{2}}=\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt=\int _{0}^{1}(1-t)^{n}(1+t)^{n}\,dt\geq \int _{0}^{1}(1-t)^{n}\,dt={\frac {1}{1+n}}$ Con esto se completa la demostración del lema. Un corolario de este lema es el siguiente:

Corolario : Para todo lo positivo y real ${\displaystyle \delta$ $\int _{\mathbb {R} \smallsetminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-\delta ^{2})^{n}$

Véase también

Referencias

1 2 Terras, Audrey (25 de mayo de 2009). "Conferencia 8. Dirac y Weierstrass" (PDF) .
↑ Hilber, Courant. Métodos de física matemática, vol. I , pág. 84.

[:0-1] 1 2 Terras, Audrey (25 de mayo de 2009). "Conferencia 8. Dirac y Weierstrass" (PDF) .

[2] Hilber, Courant. Métodos de física matemática, vol. I , pág. 84.

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