Fórmula de Landauer

En física mesoscópica , la fórmula de Landauer —nombrada en honor a Rolf Landauer , quien propuso por primera vez su prototipo en 1957 ^{[ 1 ]} —es una fórmula que relaciona la resistencia eléctrica de un conductor cuántico con las propiedades de dispersión del conductor. ^{[ 2 ]} Es el equivalente de la ley de Ohm para circuitos mesoscópicos con dimensiones espaciales del orden de o menores que la longitud de coherencia de fase de los portadores de carga ( electrones y huecos ). En metales, la longitud de coherencia de fase es del orden del micrómetro para temperaturas menores que1  K . ^{[ 3 ]}

En el caso más simple, donde el sistema solo tiene dos terminales con una pequeña diferencia de potencial químico, y la matriz de dispersión del conductor no depende de la energía, la fórmula es:

${\displaystyle G(\mu )=G_{0}\sum _{n}T_{n}(\mu )\ ,}$

dónde${\displaystyle G}$es la conductancia eléctrica,${\displaystyle G_{0}=e^{2}/(\pi \hbar )\approx 7.75\times 10^{-5}\Omega ^{-1}}$es el cuanto de conductancia ,${\displaystyle T_{n}}$son los autovalores de transmisión de los canales, y la suma recorre todos los canales de transporte en el conductor. Esta fórmula es muy simple y físicamente sensata: La conductancia de un conductor a nanoescala viene dada por la suma de todas las posibilidades de transmisión que tiene un electrón cuando se propaga con una energía igual al potencial químico promedio de los conductores izquierdo y derecho,${\displaystyle E=\mu =1/2(\mu _{L}+\mu _{R})}$. ^{[ 4 ]}

Una generalización de la fórmula de Landauer para múltiples terminales es la fórmula de Landauer-Büttiker , ^{[ 5 ] [ 4 ]} propuesta por Markus Büttiker . si terminal${\displaystyle j}$tiene voltaje${\displaystyle V_{j}}$(es decir, su potencial químico es${\displaystyle eV_{j}}$y difiere de terminal${\displaystyle i}$potencial químico), y${\displaystyle T_{i,j}}$es la suma de las probabilidades de transmisión desde el terminal${\displaystyle i}$al terminal${\displaystyle j}$(tenga en cuenta que${\displaystyle T_{i,j}}$puede o no ser igual${\displaystyle T_{j,i}}$dependiendo de la presencia de un campo magnético ), la corriente neta que sale del terminal${\displaystyle i}$es

${\displaystyle I_{i}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}\sum _{j}\left(T_{j,i}V_{i}-T_{i,j}V_{j}\right)}$

En el caso de un sistema con dos terminales, la simetría de la resistividad de contacto produce

${\displaystyle \sum _{i\neq j}T_{ij}=\sum _{i\neq j}T_{ji}}$

y la fórmula generalizada se puede reescribir como

${\displaystyle I_{i}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}\sum _{i\neq j}T_{ji}(V_{i}-V_{j})}$

lo que nos lleva a

${\displaystyle I_{1}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}T_{12}(V_{1}-V_{2})=-I_{2}=-{\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}T_{21}(V_{2}-V_{1})}$

Esto implica que la matriz de dispersión de un sistema con dos terminales es siempre simétrica, incluso en presencia de un campo magnético. La inversión del campo magnético solo modificará la dirección de propagación de los estados de borde , sin afectar la probabilidad de transmisión.

Ejemplo

Como ejemplo, en un sistema de tres contactos, la corriente neta que sale del contacto 1 se puede escribir como

${\displaystyle I_{1}=(T_{21}+T_{31})V_{1}-T_{12}V_{2}-T_{13}V_{3}}$

¿Cuáles son los portadores que dejan el contacto 1 con un potencial?${\displaystyle V_{1}}$de las cuales restamos los portadores de los contactos 2 y 3 con potenciales${\displaystyle V_{2}}$y${\displaystyle V_{3}}$respectivamente, entrando en contacto 1.

En ausencia de un campo magnético aplicado, la ecuación generalizada sería el resultado de aplicar la ley de Kirchhoff a un sistema de conductancia.${\displaystyle G_{ij}=(e^{2})/(2\pi \hbar )T_{ij}}$Sin embargo, en presencia de un campo magnético, la simetría de inversión temporal se rompería y, por lo tanto,${\displaystyle T_{ij}\neq T_{ji}}$.

En presencia de más de dos terminales en el sistema, se rompe la simetría de dos terminales. En el ejemplo dado anteriormente,${\displaystyle T_{21}\neq T_{32}+T_{13}}$Esto se debe a que los terminales "reciclan" los electrones entrantes, por lo que se pierde la coherencia de fase cuando se emite otro electrón hacia el terminal 1. Sin embargo, dado que los portadores se mueven a través de estados de borde, se puede observar que${\displaystyle T_{21}^{B}=T_{12}^{-B}}$incluso con la presencia de un tercer terminal. Esto se debe a que, bajo inversión del campo magnético, los estados de borde simplemente cambian su orientación de propagación. Esto es especialmente cierto si se considera el terminal 3 como una sonda de potencial perfecta.

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