La conjetura de Lange

En geometría algebraica , la conjetura de Lange es un teorema sobre la estabilidad de los haces vectoriales sobre curvas, introducido por Herbet Lange ^{[ 1 ]} y demostrado por Montserrat Teixidor i Bigas y Barbara Russo en 1999.

Sea C una curva proyectiva suave de género mayor o igual a 2. Para haces vectoriales genéricos${\displaystyle E_{1}}$y${\displaystyle E_{2}}$en C de rangos y grados${\displaystyle (r_{1},d_{1})}$y${\displaystyle (r_{2},d_{2})}$, respectivamente, una extensión genérica

${\ Displaystyle 0 \ a E_ {1} \ a E \ a E_ {2} \ a 0}$

tiene E estable siempre que${\displaystyle \mu (E_{1})<\mu (E_{2})}$, dónde${\displaystyle \mu (E_{i})=d_{i}/r_{i}}$es la pendiente del fibrado respectivo. La noción de fibrado vectorial genérico aquí es un punto genérico en el espacio de módulos de fibrados vectoriales semiestables en C , y una extensión genérica es aquella que corresponde a un punto genérico en el espacio vectorial${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$${\displaystyle (E_{2},E_{1})}$.

Una formulación original de Lange es que para un par de números enteros${\displaystyle (r_{1},d_{1})}$y${\displaystyle (r_{2},d_{2})}$de tal manera que${\displaystyle d_{1}/r_{1}<d_{2}/r_{2}}$, existe una sucesión exacta corta como la anterior con E estable. Esta formulación es equivalente porque la existencia de una sucesión exacta corta como esa es una condición abierta en E en el espacio de módulos de haces vectoriales semiestables en C .

• Lange, Herbert (1983). "Zur Klassifikation von Regelmannigfaltigkeiten". Annalen Matemáticas . 262 (4): 447– 459. doi : 10.1007/BF01456060 . ISSN 0025-5831 . SEÑOR 0696517 .  
• Teixidor i Bigas, Montserrat ; Russo, Bárbara (1999). "Sobre una conjetura de Lange". Revista de Geometría Algebraica . 8 (3): 483– 496. arXiv : alg-geom/9710019 . Código Bib : 1997alg.geom.10019R . ISSN 1056-3911 . SEÑOR 1689352 .  
• Ballico, Edoardo (2000). "Extensiones de haces de vectores estables en curvas suaves: conjetura de Lange". Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi . (NS). 46 (1): 149-156 . SEÑOR 1840133 .