Funciones de Brillouin y Langevin

Las funciones de Brillouin y Langevin son un par de funciones especiales que aparecen al estudiar un material paramagnético idealizado en mecánica estadística . Estas funciones reciben su nombre de los físicos franceses Paul Langevin y Léon Brillouin, quienes contribuyeron a la comprensión microscópica de las propiedades magnéticas de la materia.

La función Brillouin ^{[1] [2]} es una función especial definida por la siguiente ecuación:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

La función se aplica normalmente (ver más abajo) en el contexto donde es una variable real y es un entero positivo o un semientero. En este caso, la función varía de -1 a 1, acercándose a +1 cuando y a -1 cuando . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle x\to +\infty}$${\displaystyle x\to -\infty}$

La función es más conocida por surgir en el cálculo de la magnetización de un paramagnético ideal . En particular, describe la dependencia de la magnetización del campo magnético aplicado y del número cuántico de momento angular total J de los momentos magnéticos microscópicos del material. La magnetización se da por: ^[1]${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}JB_{J}(x)}$

dónde

• ${\estilo de visualización N}$es el número de átomos por unidad de volumen,
• ${\estilo de visualización g}$el factor g ,
• ${\displaystyle \mu_{\rm {B}}}$El magnetón de Bohr ,
• ${\estilo de visualización x}$es la relación entre la energía Zeeman del momento magnético en el campo externo y la energía térmica : ^[1]$estilo de visualización k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle x=J{\frac {g\mu _{\rm {B}}B}{k_{\rm {B}}T}}}$

• $estilo de visualización k_{\rm {B}}}$es la constante de Boltzmann y la temperatura.${\estilo de visualización T}$

Téngase en cuenta que en el sistema SI de unidades dadas en Tesla representa el campo magnético , , donde es el campo magnético auxiliar dado en A/m y es la permeabilidad del vacío . ${\estilo de visualización B}$${\displaystyle B=\mu _{0}H}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \mu_{0}}$

Takacs ^[3] propuso la siguiente aproximación a la inversa de la función de Brillouin:

${\displaystyle B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}}$

donde las constantes y se definen como ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle a={\frac {0,5(1+2J)(1-0,055)}{(J-0,27)2J}}+{\frac {0,1}{J^{2}}}}$

${\displaystyle b=0,8}$

En el límite clásico, los momentos pueden estar alineados continuamente en el campo y pueden asumir todos los valores ( ). La función de Brillouin se simplifica entonces en la función de Langevin , llamada así en honor a Paul Langevin : ${\estilo de visualización J}$${\displaystyle J\to \infty}$

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

Para valores pequeños de x , la función de Langevin se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor :

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\puntos }$

Una aproximación alternativa de mejor comportamiento se puede derivar de la expansión de fracción continua de Lambert de tanh( x ) :

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

Para x suficientemente pequeños , ambas aproximaciones son numéricamente mejores que una evaluación directa de la expresión analítica real, ya que esta última sufre una cancelación catastrófica para donde . ${\displaystyle x\approx 0}$${\displaystyle \coth(x)\approx 1/x}$

La función inversa de Langevin L ⁻¹ ( x ) está definida en el intervalo abierto (−1, 1). Para valores pequeños de x , se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor ^[4]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }$

y por la aproximación de Padé

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).}$

Como esta función no tiene forma cerrada, es útil tener aproximaciones válidas para valores arbitrarios de x . Una aproximación popular, válida en todo el rango (−1, 1), ha sido publicada por A. Cohen: ^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.}$

Este error relativo máximo es del 4,9 % en la proximidad de x = ±0,8 . Se puede lograr una mayor precisión utilizando la fórmula dada por R. Jedynak: ^[6]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},}$

Válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para esta aproximación es del 1,5 % en la vecindad de x = 0,85. Se puede lograr una precisión aún mayor utilizando la fórmula dada por M. Kröger: ^[7]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}}$

El error relativo máximo para esta aproximación es inferior al 0,28 %. R. Petrosyan informó una aproximación más precisa: ^[8]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},}$

Válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para la fórmula anterior es menor que 0,18%. ^[8]

La nueva aproximación dada por R. Jedynak, ^[9] es la mejor aproximación reportada en complejidad 11:

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},}$

Válido para x ≥ 0. Su error relativo máximo es menor que 0,076%. ^[9]

El diagrama actual de los aproximantes de la función inversa de Langevin presenta la figura siguiente. Es válido para los aproximantes racionales/de Padé, ^{[7] [9]}

Un artículo publicado recientemente por R. Jedynak, ^[10] proporciona una serie de aproximaciones óptimas a la función de Langevin inversa. La tabla siguiente muestra los resultados con comportamientos asintóticos correctos. ^{[7] [9] [10]}

Comparación de errores relativos para las diferentes aproximaciones racionales óptimas, que se calcularon con restricciones (Apéndice 8 Tabla 1) ^[10]

También recientemente, Benítez y Montáns propusieron un aproximante de precisión cercana a la de la máquina, eficiente, basado en interpolaciones de splines, ^[11] donde también se proporciona el código Matlab para generar el aproximante basado en splines y comparar muchos de los aproximantes propuestos previamente en todo el dominio de la función.

Cuando ie es pequeño, la expresión de la magnetización se puede aproximar mediante la ley de Curie : ${\displaystyle x\ll 1}$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}B/k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

donde es una constante. Se puede observar que es el número efectivo de magnetones de Bohr. ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}}$${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$

Cuando , la función Brillouin tiende a 1. La magnetización se satura con los momentos magnéticos completamente alineados con el campo aplicado: ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}$