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Articulo de referencia

Funciones de Brillouin y Langevin

Las funciones de Brillouin y Langevin son un par de funciones especiales que aparecen al estudiar un material paramagnético idealizado en mecánica estadística . Estas funciones ...

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Las funciones de Brillouin y Langevin son un par de funciones especiales que aparecen al estudiar un material paramagnético idealizado en mecánica estadística . Estas funciones reciben su nombre de los físicos franceses Paul Langevin y Léon Brillouin , quienes contribuyeron a la comprensión microscópica de las propiedades magnéticas de la materia.

La función de Langevin se deriva utilizando mecánica estadística y describe cómo se alinean los dipolos magnéticos mediante un campo aplicado. [ 1 ] La función de Brillouin se desarrolló posteriormente para dar una explicación que considera la física cuántica. [ 2 ] La función de Langevin podría entonces verse como un caso especial de la función de Brillouin más general si el número cuánticoJ{\displaystyle J}era infinito (J→∞{\displaystyle J\to \infty }). [ 3 ]

Función de Brillouin para el paramagnetismo

La función de Brillouin [ 4 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 6 ] surge al estudiar la magnetización de un paramagneto ideal . En particular, describe la dependencia de la magnetización.METRO{\displaystyle M}sobre el campo magnético aplicadoB{\displaystyle B}, definido por la siguiente ecuación:

BJ(incógnita)=2J+12Jcoth⁡(2J+12Jincógnita)−12Jcoth⁡(12Jincógnita){\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}

La funciónBJ{\displaystyle B_{J}}se aplica generalmente en el contexto dondeincógnita{\displaystyle x}es una variable real y una función del campo aplicado.B{\displaystyle B}En este caso, la función varía de -1 a 1, aproximándose a +1 a medida queincógnita→+∞{\displaystyle x\to +\infty }y -1 comoincógnita→−∞{\displaystyle x\to -\infty }.

El número cuántico de momento angular totalJ{\displaystyle J}es un entero positivo o semi-entero . Considerando los momentos magnéticos microscópicos del material. La magnetización viene dada por: [ 4 ]METRO=nortegramoμBJBJ(incógnita){\displaystyle M=Ng\mu _{\text{B}}JB_{J}(x)}

dónde

  • norte{\displaystyle N}es el número de átomos por unidad de volumen,
  • gramo{\displaystyle g}el factor g ,
  • μB{\displaystyle \mu _{\text{B}}}el magnetón de Bohr ,
  • incógnita{\displaystyle x}es la relación entre la energía de Zeeman del momento magnético en el campo externo y la energía térmica.kBT{\displaystyle k_{\text{B}}T}: [ 4 ]incógnita=JgramoμBBkBT{\displaystyle x=J{\frac {g\mu _{\text{B}}B}{k_{\text{B}}T}}}
  • kB{\displaystyle k_{\text{B}}}es la constante de Boltzmann yT{\displaystyle T}la temperatura.

Tenga en cuenta que en el sistema de unidades SIB{\displaystyle B}dado en tesla representa el campo magnético ,B=μ0H{\displaystyle B=\mu _{0}H}, dóndeH{\displaystyle H}es el campo magnético auxiliar dado en A/m yμ0{\displaystyle \mu _{0}}es la permeabilidad del vacío .

Límite de saturación de campo alto

Cuandoincógnita→∞{\displaystyle x\to \infty }La función de Brillouin tiende a 1. La magnetización se satura con los momentos magnéticos completamente alineados con el campo aplicado:

METRO=nortegramoμBJ{\displaystyle M=Ng\mu _{\text{B}}J}

Límite de campo bajo/temperatura alta

Para campos bajos la curva parece casi lineal, y podría reemplazarse por una pendiente lineal como en la ley de paramagnetismo de Curie . Cuandoincógnita≪1{\displaystyle x\ll 1}(es decir cuandoincógnita=μBB/kBT{\displaystyle x=\mu _{\text{B}}B/k_{\text{B}}T}(si es pequeño) la expresión de la magnetización se puede aproximar mediante:

METRO=do⋅BT{\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}

y equivalente a la ley de Curie con la constante dada por do=nortegramo2J(J+1)μB23kB=norteμefectivo23kB{\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\text{B}}}}={\frac {N\mu _{\text{eff}}^{2}}{3k_{\text{B}}}}}

Usandoμefectivo=gramoJ(J+1)μB{\textstyle \mu _{\text{eff}}=g{\sqrt {J(J+1)}}\mu _{\text{B}}}como el número efectivo de magnetones de Bohr.

Tenga en cuenta que esto solo es válido para campos bajos en el paramagnetismo . [ 7 ] Los materiales ferromagnéticos todavía tienen una magnetización espontánea en campos bajos (por debajo de la temperatura de Curie), y la susceptibilidad debe entonces explicarse mediante la ley de Curie-Weiss .

Caso de dos estados (espín 1/2)

El caso más simple de la función de Brillouin sería el caso deJ=1/2{\displaystyle J=1/2}, cuando la función se simplifica a la forma de una función tanh. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] Entonces se escribe como

METRO=nortegramoμBJtanh⁡gramoJμBBkBT,{\displaystyle M=Ng\mu _{\text{B}}J\tanh {\frac {gJ\mu _{\text{B}}B}{k_{\text{B}}T}},}

Esto podría vincularse al modelo de Ising, para un caso con dos espines posibles: hacia arriba o hacia abajo. [ 11 ] Dirigido en paralelo o antiparalelo al campo aplicado.

Esto equivale entonces a una partícula de dos estados : puede alinear su momento magnético con el campo magnético o en contra de él. Por lo tanto, los únicos valores posibles del momento magnético son entoncesμB{\displaystyle \mu _{\text{B}}}y−μB{\displaystyle -\mu _{\text{B}}}. Si es así, entonces dicha partícula tiene solo dos energías posibles,−μBB{\displaystyle -\mu _{\text{B}}B}cuando está alineado con el campo y+μBB{\displaystyle +\mu _{\text{B}}B}cuando está orientado en dirección opuesta al campo.

Función de Langevin para el paramagnetismo clásico

Función de Langevin (línea azul), en comparación contanh⁡(incógnita/3){\displaystyle \tanh(x/3)}(línea magenta).

La función de Langevin (L(incógnita){\displaystyle L(x)}) recibió su nombre en honor a Paul Langevin, quien publicó dos artículos con esta función en 1905 [ 12 ] [ 13 ] para describir el paramagnetismo mediante la mecánica estadística. Escrito como:

L(incógnita)=coth⁡(incógnita)−1incógnita{\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}

Podría derivarse describiendo cómo se alinean los momentos magnéticos mediante un campo magnético, considerando la termodinámica estadística. [ 1 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] Una derivación podría verse aquí:

La función de Langevin también puede derivarse como el límite clásico de la función de Brillouin, si los momentos magnéticos pueden estar alineados continuamente en el campo y el número cuánticoJ{\displaystyle J}podría asumir todos los valores (J→∞{\displaystyle J\to \infty }). La función de Brillouin se simplifica entonces en la función de Langevin.

¿Enfoque clásico o cuántico?

La función de Langevin se considera a menudo la teoría clásica del paramagnetismo, [ 1 ] mientras que la función de Brillouin es la teoría cuántica del paramagnetismo. [ 3 ] Cuando Langevin publicó la teoría del paramagnetismo en 1905 , [ 12 ] [ 13 ] fue antes de la adopción de la física cuántica. Esto significa que Langevin solo utilizó conceptos de la física clásica . [ 17 ]

Niels Bohr demostró en su tesis que la mecánica estadística clásica no puede utilizarse para explicar el paramagnetismo, y que debe utilizarse la teoría cuántica. [ 17 ] Esto se conocería más tarde como el teorema de Bohr-Van Leeuwen . El momento magnético se explicaría más tarde en la teoría cuántica mediante el magnetón de Bohr (μB{\displaystyle \mu _{\text{B}}}), que se utiliza en la función de Brillouin.

Cabe señalar que existe una diferencia en los enfoques de Langevin y Bohr, ya que Langevin asume una polarización magnética.μ{\displaystyle \mu }como base para la derivación, mientras que Bohr comienza la derivación a partir de los movimientos de los electrones y un modelo de un átomo. [ 17 ] Langevin todavía asume un dipolo magnético fijo. Esto podría expresarse como lo hace JH Van Vleck : "Cuando Langevin asumió que el momento magnético del átomo o molécula tenía un valor fijoμ{\displaystyle \mu }, estaba cuantizando el sistema sin darse cuenta [ 17 ] ". Esto hace que la función de Langevin se encuentre en la frontera entre la mecánica estadística clásica y la teoría cuántica (ya sea semiclasica o semicuántica). [ 17 ]

Función de Langevin para la polarización eléctrica

La función de Langevin también podría usarse para describir la polarización eléctrica, en el caso específico en que la polarización se explica por la orientación de dipolos (eléctricamente polarizados). [ 18 ] [ 19 ] De modo que la polarización eléctrica viene dada por: [ 20 ]

PAG=PAGs⋅L(incógnita){\displaystyle P=P_{s}\cdot L(x)}

pero aquí por un momento dipolar eléctricopag{\displaystyle p}y un campo eléctricomiL{\displaystyle E_{L}}(en lugar de los equivalentes magnéticos), es decir incógnita=pagmiLkBT{\displaystyle x={\frac {pE_{L}}{k_{\text{B}}T}}}

Funciones simplificadas

Para valores pequeños de x , la función de Langevin puede aproximarse mediante una truncación de su serie de Taylor : L(incógnita)=13incógnita−145incógnita3+2945incógnita5−14725incógnita7+…{\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots } El primer término de esta expansión en serie es equivalente a la ley de Curie , [ 1 ] cuando se escribe como

L(incógnita)≈incógnita3{\displaystyle L(x)\approx {\frac {x}{3}}}

Una aproximación alternativa, con mejor comportamiento, puede derivarse de la expansión en fracciones continuas de Lambert de tanh( x ) : L(incógnita)=incógnita3+incógnita25+incógnita27+incógnita29+…{\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}Para valores de x suficientemente pequeños , ambas aproximaciones son numéricamente mejores que una evaluación directa de la expresión analítica real, ya que esta última sufre una cancelación catastrófica .incógnita≈0{\displaystyle x\approx 0}dóndecoth⁡(incógnita)≈1/incógnita{\displaystyle \coth(x)\approx 1/x}.

Función de Langevin inversa

La función de Langevin inversaL−1(incógnita){\displaystyle L^{-1}(x)}no tiene una forma analítica explícita, pero existen varias aproximaciones. [ 21 ]

La función de Langevin inversaL−1(incógnita){\displaystyle L^{-1}(x)}se define en el intervalo abierto (−1, 1). Para valores pequeños deincógnita{\displaystyle x}, se puede aproximar mediante una truncación de su serie de Taylor [ 22 ]

L−1(incógnita)=3incógnita+95incógnita3+297175incógnita5+1539875incógnita7+…{\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }

y por el aproximante de Padé

L−1(incógnita)=3incógnita35−12incógnita235−33incógnita2+O(incógnita7).{\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).}

Gráficas del error relativo para x ∈ [ 0, 1) para las aproximaciones de Cohen y Jedynak

Dado que esta función no tiene una forma cerrada, es útil tener aproximaciones válidas para valores arbitrarios deincógnita{\displaystyle x}. Una aproximación popular, válida en todo el rango (−1, 1), ha sido publicada por A. Cohen: [ 23 ]L−1(incógnita)≈incógnita3−incógnita21−incógnita2.{\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.}

Esto tiene un error relativo máximo del 4,9% en las proximidades deincógnita=±0,8{\displaystyle x=\pm 0.8}Se puede lograr una mayor precisión utilizando la fórmula dada por R. Jedynak: [ 24 ]

L−1(incógnita)≈incógnita3.0−2.6incógnita+0,7incógnita2(1−incógnita)(1+0.1incógnita),{\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},}

válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para esta aproximación es del 1,5% en las proximidades deincógnita=0,85{\displaystyle x=0.85}Se puede lograr una precisión aún mayor utilizando la fórmula dada por M. Kröger: [ 25 ]

L−1(incógnita)≈3incógnita−incógnita(6incógnita2+incógnita4−2incógnita6)/51−incógnita2{\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}}

El error relativo máximo para esta aproximación es inferior al 0,28 %. R. Petrosyan informó de una aproximación más precisa: [ 26 ]

L−1(incógnita)≈3incógnita+incógnita25pecado⁡(7incógnita2)+incógnita31−incógnita,{\displaystyle L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},}

Válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para la fórmula anterior es menor que 0,18%. [ 26 ]

La nueva aproximación dada por R. Jedynak, [ 27 ] es la mejor aproximación reportada con complejidad 11:

L−1(incógnita)≈incógnita(3−1.00651incógnita2−0,962251incógnita4+1.47353incógnita6−0,48953incógnita8)(1−incógnita)(1+1.01524incógnita),{\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},}

válido para x ≥ 0. Su error relativo máximo es inferior al 0,076%. [ 27 ]

El diagrama actual de vanguardia de las aproximaciones a la función de Langevin inversa se presenta en la figura siguiente. Es válido para las aproximaciones racionales/de Padé, [ 25 ] [ 27 ]

Diagrama de última generación de las aproximaciones a la función de Langevin inversa, [ 25 ] [ 27 ]

Un artículo publicado recientemente por R. Jedynak [ 28 ] proporciona una serie de aproximaciones óptimas a la función de Langevin inversa. La tabla siguiente muestra los resultados con comportamientos asintóticos correctos. [ 25 ] [ 27 ] [ 28 ]

Comparación de errores relativos para las diferentes aproximaciones racionales óptimas, que se calcularon con restricciones (Apéndice 8 Tabla 1) [ 28 ]

También recientemente, Benítez y Montáns propusieron un aproximante eficiente de precisión casi de máquina, basado en interpolaciones spline, [ 29 ] donde también se proporciona código MATLAB para generar el aproximante basado en spline y para comparar muchos de los aproximantes propuestos anteriormente en todo el dominio de la función.

Función de Brillouin inversa

También se podrían utilizar aproximaciones para expresar la función de Brillouin inversa (BJ(incógnita)−1{\displaystyle B_{J}(x)^{-1}}Takacs [ 30 ] propuso la siguiente aproximación a la inversa de la función de Brillouin :BJ(incógnita)−1=aincógnitaJ21−bincógnita2{\displaystyle B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}} donde las constantesa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}se definen como

  • a=0,5(1+2J)(1−0,055)(J−0,27)2J+0.1J2{\displaystyle a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{(J-0.27)2J}}+{\frac {0.1}{J^{2}}}}
  • b=0,8{\displaystyle b=0.8}

Véase también

Referencias

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  3. 1 2 B. D. Cullity; CD Graham (2009). Introducción a los materiales magnéticos (2.ª ed.) . Wiley (IEEE Press). págs. 99–113 . ISBN  978-0471-47741-9.
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