Los ángulos adventicios de Langley

El problema de los ángulos adventicios de Langley consiste en deducir un ángulo en un diagrama geométrico a partir de otros ángulos dados. Fue planteado por Edward Mann Langley en The Mathematical Gazette en 1922. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En su forma original, el problema era el siguiente:

${\displaystyle ABC}$es un triángulo isósceles con${\displaystyle \angle {CBA}=\angle {ACB}=80^{\circ }.}$

${\displaystyle CF}$en${\displaystyle 30^{\circ }}$a${\displaystyle AC}$recortes${\displaystyle AB}$en${\displaystyle F.}$

${\displaystyle BE}$en${\displaystyle 20^{\circ }}$a${\displaystyle AB}$recortes${\displaystyle AC}$en${\displaystyle E.}$

Probar${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

El problema del cálculo del ángulo${\displaystyle \angle {BEF}}$es una aplicación estándar de la resección de Hansen . Dichos cálculos pueden establecer que${\displaystyle \angle {BEF}}$Se encuentra dentro de cualquier precisión deseada de 30°, pero al tener una precisión finita, siempre deja dudas sobre el valor exacto.

James Mercer desarrolló en 1923 una demostración directa utilizando geometría clásica. ^{[ 2 ]} Esta demostración consiste en dibujar una línea adicional y luego hacer uso repetido del hecho de que los ángulos internos de un triángulo suman 180° para probar que varios triángulos dibujados dentro del triángulo grande son todos isósceles.

Dibujar${\displaystyle BG}$en${\displaystyle 20^{\circ }}$a${\displaystyle BC}$intersección${\displaystyle AC}$en${\displaystyle G}$y dibujar${\displaystyle FG.}$(Véase la figura en la parte inferior derecha).

Desde${\displaystyle \angle {BCG}=80^{\circ }}$y${\displaystyle \angle {CBG}=20^{\circ }}$entonces${\displaystyle \angle {BGC}=80^{\circ }}$y triángulo${\displaystyle BCG}$es isósceles con${\displaystyle BC=BG.}$

Desde${\displaystyle \angle {BCF}=50^{\circ }}$y${\displaystyle \angle {CBF}=80^{\circ }}$entonces${\displaystyle \angle {BFC}=50^{\circ }}$y triángulo${\displaystyle BCF}$es isósceles con${\displaystyle BC=BF.}$

Desde${\displaystyle \angle {FBG}=60^{\circ }}$y${\displaystyle BF=BG}$luego triángulo${\displaystyle BGF}$es equilátero .

Desde${\displaystyle \angle {BGE}=100^{\circ }}$y${\displaystyle \angle {GBE}=40^{\circ }}$entonces${\displaystyle \angle {GEB}=40^{\circ }}$y triángulo${\displaystyle BGE}$es isósceles con${\displaystyle GB=GE.}$

Por lo tanto, todas las líneas rojas de la figura son iguales.

Desde${\displaystyle GE=GF}$triángulo${\displaystyle EFG}$es isósceles con${\displaystyle \angle {GEF}=70^{\circ }.}$

Por lo tanto${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$

Son posibles muchas otras demostraciones. Cut-the-Knot enumera doce demostraciones diferentes y varios problemas alternativos con el mismo triángulo 80-80-20 pero con ángulos internos diferentes. ^{[ 4 ]}

Un cuadrilátero como BCEF se denomina cuadrilátero adventicio cuando los ángulos entre sus diagonales y lados son todos ángulos racionales, es decir, ángulos que dan como resultado números racionales cuando se miden en grados u otras unidades para las que el círculo completo es un número racional. Se han construido numerosos cuadriláteros adventicios además del que aparece en el rompecabezas de Langley. Estos forman varias familias infinitas y un conjunto adicional de ejemplos esporádicos. ^{[ 5 ]}

La clasificación de los cuadriláteros adventicios (que no necesariamente son convexos) resulta ser equivalente a clasificar todas las intersecciones triples de diagonales en polígonos regulares. Esto fue resuelto por Gerrit Bol en 1936. ^{[ 6 ]} De hecho, clasificó (aunque con algunos errores) todas las intersecciones múltiples de diagonales en polígonos regulares. Sus resultados (todos realizados a mano) fueron confirmados por computadora, y los errores corregidos, por Bjorn Poonen y Michael Rubinstein en 1998. ^{[ 7 ]} El artículo contiene una historia del problema y una imagen que muestra el triacontágono regular y sus diagonales.

En 2015, una mujer japonesa anónima que usaba el seudónimo "aerile re" publicó el primer método conocido (el método de los 3 circuncentros) para construir una demostración en geometría elemental para una clase especial de problemas de cuadriláteros adventicios. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Este trabajo resuelve el primero de los tres problemas sin resolver enumerados por Rigby en su artículo de 1978. ^{[ 5 ]}

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