Relación de la linterna

En topología geométrica , una rama de las matemáticas , la relación de la linterna es una relación que aparece entre ciertas torsiones de Dehn en el grupo de clases de mapeo de una superficie . La versión más general de la relación involucra siete torsiones de Dehn. La relación fue descubierta por Dennis Johnson en 1979. ^{[ 1 ]}

Forma general

La forma general de la relación de la linterna implica siete giros de Dehn en el grupo de clases de mapeo de un disco con tres agujeros, ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} como se muestra en la figura de la derecha. Según la relación,

D A D B D C = D R D S D T D U

,

donde $D A$ , $D B$ , y $D C$ son las torsiones de Dehn dextrógiras alrededor de las curvas azules $A$ , $B$ , y $C$ , y $D R$ , $D S$ , $D T$ , $D U$ son las torsiones de Dehn dextrógiras alrededor de las cuatro curvas rojas.

Nótese que las torsiones de Dehn $D R$ , $D S$ , $D T$ , $D U$ del lado derecho conmutan todas (ya que las curvas son disjuntas , por lo que el orden en que aparecen no importa). Sin embargo, el orden cíclico de las tres torsiones de Dehn de la izquierda sí importa:

D A D B D C = D B D C D A = D C D A D B

.

Además, tenga en cuenta que las igualdades escritas anteriormente son en realidad igualdades salvo homotopía o isotopía , como es habitual en el grupo de clases de mapeo.

Superficies generales

Aunque hemos enunciado la relación de la linterna para un disco con tres agujeros, esta relación aparece en el grupo de clases de mapeo de cualquier superficie en la que dicho disco pueda incrustarse de forma no trivial. Dependiendo del contexto, algunas de las torsiones de Dehn que aparecen en la relación de la linterna pueden ser homotópicas a la función identidad , en cuyo caso la relación involucra menos de siete torsiones de Dehn.

La relación de linterna se utiliza en varias presentaciones diferentes para la asignación de grupos de clases de superficies.

Referencias

1 2 Johnson, Dennis L. (1979). "Homeomorfismos de una superficie que actúan trivialmente sobre homología" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 75 (1). Sociedad Matemática Americana: 119–125 . doi : 10.2307/2042686 . JSTOR 2042686 .
↑ Stipsicz, András; Özbağci, Burak (2004). Cirugía en variedades tridimensionales de contacto y superficies de Stein . Berlín: Springer. ISBN 3-540-22944-2.

Enlaces externos

Bocetos de topología : la relación de la linterna

[johnson-1] 1 2 Johnson, Dennis L. (1979). "Homeomorfismos de una superficie que actúan trivialmente sobre homología" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 75 (1). Sociedad Matemática Americana: 119–125 . doi : 10.2307/2042686 . JSTOR 2042686 .

[2] Stipsicz, András; Özbağci, Burak (2004). Cirugía en variedades tridimensionales de contacto y superficies de Stein . Berlín: Springer. ISBN 3-540-22944-2.

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