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La aproximación de Laplace

La aproximación de Laplace o aproximación cuadrática ( QUAP ) [ 1 ] proporciona una expresión analítica para una distribución de probabilidad posterior ajustando una distribució...

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La aproximación de Laplace o aproximación cuadrática ( QUAP ) [ 1 ] proporciona una expresión analítica para una distribución de probabilidad posterior ajustando una distribución gaussiana con una media igual a la solución MAP y una precisión igual a la información de Fisher observada . [ 2 ] [ 3 ] La aproximación se justifica por el teorema de Bernstein-von Mises , que establece que, bajo condiciones de regularidad, el error de la aproximación tiende a 0 cuando el número de puntos de datos tiende a infinito. [ 4 ] [ 5 ]

Por ejemplo, considere un modelo de regresión o clasificación con un conjunto de datos.{incógnitanorte,ynorte}norte=1,…,norte{\displaystyle \{x_{n},y_{n}\}_{n=1,\ldots ,N}}que comprende insumosincógnita{\displaystyle x}y resultadosy{\displaystyle y}con vector de parámetros (desconocido)θ{\displaystyle \theta }de longitudD{\displaystyle D}La probabilidad se denotapag(y|incógnita,θ){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )}y el parámetro previopag(θ){\displaystyle p(\theta )}Supongamos que se desea aproximar la densidad conjunta de salidas y parámetros.pag(y,θ|incógnita){\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})}La fórmula de Bayes dice:

pag(y,θ|incógnita)=pag(y|incógnita,θ)pag(θ|incógnita)=pag(y|incógnita)pag(θ|y,incógnita)≃q~(θ)=Zq(θ).{\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )p(\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}})p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})\;\simeq \;{\tilde {q}}(\theta )\;=\;Zq(\theta ).}

La probabilidad conjunta es igual al producto de la verosimilitud y la probabilidad a priori y, según la regla de Bayes , es igual al producto de la probabilidad marginal.pag(y|incógnita){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}y posteriorpag(θ|y,incógnita){\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}. Visto como una función deθ{\displaystyle \theta }La unión es una densidad no normalizada.

En la aproximación de Laplace, aproximamos la articulación mediante una gaussiana no normalizada.q~(θ)=Zq(θ){\displaystyle {\tilde {q}}(\theta )=Zq(\theta )}, donde usamosq{\displaystyle q}para denotar densidad aproximada,q~{\displaystyle {\tilde {q}}}para densidad no normalizada yZ{\displaystyle Z}la constante de normalización deq~{\displaystyle {\tilde {q}}}(independiente deθ{\displaystyle \theta }). Dado que la probabilidad marginalpag(y|incógnita){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}no depende del parámetroθ{\displaystyle \theta }y la parte posteriorpag(θ|y,incógnita){\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}normaliza sobreθ{\displaystyle \theta }podemos identificarlos inmediatamente conZ{\displaystyle Z}yq(θ){\displaystyle q(\theta )}de nuestra aproximación, respectivamente.

La aproximación de Laplace es

pag(y,θ|incógnita)≃pag(y,θ^|incógnita)exp⁡(−12(θ−θ^)⊤S−1(θ−θ^))=q~(θ),{\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;\simeq \;p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})\exp {\big (}-{\tfrac {1}{2}}(\theta -{\hat {\theta }})^{\top }S^{-1}(\theta -{\hat {\theta }}){\big )}\;=\;{\tilde {q}}(\theta ),}

donde hemos definido

θ^=argmaxθ⁡registro⁡pag(y,θ|incógnita),S−1=−∇θ∇θregistro⁡pag(y,θ|incógnita)|θ=θ^,{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&\;=\;\operatorname {argmax} _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}}),\\S^{-1}&\;=\;-\left.\nabla _{\theta }\nabla _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\right|_{\theta ={\hat {\theta }}},\end{aligned}}}

dóndeθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}es la ubicación de un modo de la densidad del objetivo conjunto, también conocido como punto de máxima a posteriori o MAP yS−1{\displaystyle S^{-1}}es elD×D{\displaystyle D\times D}matriz definida positiva de segundas derivadas de la densidad objetivo conjunta logarítmica negativa en el modoθ=θ^{\displaystyle \theta ={\hat {\theta }}}. Por lo tanto, la aproximación gaussiana coincide con el valor y la curvatura logarítmica de la densidad objetivo no normalizada en el modo. El valor deθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}Normalmente se encuentra utilizando un método basado en gradientes .

En resumen, tenemos

q(θ)=norte(θ|μ=θ^,Σ=S),registro⁡Z=registro⁡pag(y,θ^|incógnita)+12registro⁡|S|+D2registro⁡(2π),{\displaystyle {\begin{aligned}q(\theta )&\;=\;{\cal {N}}(\theta |\mu ={\hat {\theta }},\Sigma =S),\\\log Z&\;=\;\log p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})+{\tfrac {1}{2}}\log |S|+{\tfrac {D}{2}}\log(2\pi ),\end{aligned}}}

para la posterior aproximada sobreθ{\displaystyle \theta }y la verosimilitud marginal logarítmica aproximada, respectivamente.

Las principales debilidades de la aproximación de Laplace radican en su simetría respecto al modo y en su carácter muy local: toda la aproximación se deriva de propiedades en un único punto de la densidad objetivo. El método de Laplace es ampliamente utilizado y fue desarrollado inicialmente en el contexto de las redes neuronales por David MacKay [ 6 ] , y para los procesos gaussianos por Williams y Barber [ 7 ] .

Aproximación de Laplace anidada integrada

Aproximación de Laplace anidada integrada (INLA es un método parala inferencia bayesianabasado en la aproximación de Laplace. [ 8 ] Está diseñado para una clase de modelos llamados modelos gaussianos latentes (LGM), para los cuales puede ser una alternativa rápida y precisa ade Monte Carlo de cadena de Markovpara calcular distribuciones marginales posteriores. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Debido a su velocidad relativa incluso con grandes conjuntos de datos para ciertos problemas y modelos, INLA ha sido un método de inferencia popular en estadística aplicada, en particularestadística espacial,ecología,sismologíayepidemiología. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] También es posible combinar INLA con unade método de elementos finitosde unaecuación diferencial parcial estocásticapara estudiar, por ejemplo, procesos puntuales espaciales ymodelos de distribución de especies. [ 15 ] [ 16 ] El método INLA está implementado en elpaquetede R. [ 17 ]

modelos gaussianos latentes

Dejary=(y1,…,ynorte){\displaystyle {\boldsymbol {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})}denotamos la variable de respuesta (es decir, las observaciones) que pertenece a una familia exponencial , con mediaμi{\displaystyle \mu _{i}}(deyi{\displaystyle y_{i}}) estar vinculado a un predictor linealηi{\displaystyle \eta _{i}}mediante una función de enlace apropiada . El predictor lineal puede adoptar la forma de un modelo aditivo (bayesiano) . Todos los efectos latentes (el predictor lineal, la intersección, los coeficientes de las posibles covariables, etc.) se denotan colectivamente por el vector.incógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}. Los hiperparámetros del modelo se denotan porθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}Según la estadística bayesiana,incógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}yθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}son variables aleatorias con distribuciones previas.

Se supone que las observaciones son condicionalmente independientes dadoincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}yθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}:π(y|incógnita,θ)=∏i∈Iπ(yi|ηi,θ),{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})=\prod _{i\in {\mathcal {I}}}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }}),}dóndeI{\displaystyle {\mathcal {I}}}es el conjunto de índices para los elementos observados dey{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}(algunos elementos pueden no ser observados, y para estos INLA calcula una distribución predictiva posterior). Tenga en cuenta que el predictor linealη{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}es parte deincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}.

Para que el modelo sea un modelo gaussiano latente, se supone queincógnita|θ{\displaystyle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}}es un campo aleatorio de Markov gaussiano (GMRF) [ 8 ] (es decir, un gaussiano multivariado con propiedades adicionales de independencia condicional ) con densidad de probabilidadπ(incógnita|θ)∝|Qθ|1/2exp⁡(−12incógnitaTQθincógnita),{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\propto \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}\right),}dóndeQθ{\displaystyle {\boldsymbol {Q_{\theta }}}}es unθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}matriz de precisión dispersa dependiente y|Qθ|{\displaystyle \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|}es su determinante. La matriz de precisión es dispersa debido a la suposición GMRF. La distribución previaπ(θ){\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }})}para los hiperparámetros no es necesario que sean gaussianos. Sin embargo, el número de hiperparámetros,metro=dimetro(θ){\displaystyle m=\mathrm {dim} ({\boldsymbol {\theta }})}, se supone que es pequeño (por ejemplo, menos de 15).

Inferencia bayesiana aproximada con INLA

En la inferencia bayesiana, se busca calcular la distribución posterior de las variables latentes.incógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}yθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}Aplicando el teorema de Bayesπ(incógnita,θ|y)=π(y|incógnita,θ)π(incógnita|θ)π(θ)π(y),{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {\theta }})}{\pi ({\boldsymbol {y}})}},}la distribución posterior conjunta deincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}yθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}es dado porπ(incógnita,θ|y)∝π(θ)π(incógnita|θ)∏iπ(yi|ηi,θ)∝π(θ)|Qθ|1/2exp⁡(−12incógnitaTQθincógnita+∑iregistro⁡[π(yi|ηi,θ)]).{\displaystyle {\begin{aligned}\pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\prod _{i}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\\&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}+\sum _{i}\log \left[\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\right]\right).\end{aligned}}}Obtener la distribución posterior exacta suele ser un problema muy difícil. En INLA, el objetivo principal es aproximar las distribuciones marginales posteriores.π(incógnitai|y)=∫π(incógnitai|θ,y)π(θ|y)dθπ(θj|y)=∫π(θ|y)dθ−j,{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})\pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\\pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}dóndeθ−j=(θ1,…,θj−1,θj+1,…,θmetro){\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}=\left(\theta _{1},\dots ,\theta _{j-1},\theta _{j+1},\dots ,\theta _{m}\right)}.

Una idea clave de INLA es construir aproximaciones anidadas dadas porπ~(incógnitai|y)=∫π~(incógnitai|θ,y)π~(θ|y)dθπ~(θj|y)=∫π~(θ|y)dθ−j,{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}){\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\{\widetilde {\pi }}(\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}dóndeπ~(⋅|⋅){\displaystyle {\widetilde {\pi }}(\cdot |\cdot )}es una densidad posterior aproximada. La aproximación a la densidad marginalπ(incógnitai|y){\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})}se obtiene de forma anidada aproximando primeroπ(θ|y){\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}yπ(incógnitai|θ,y){\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})}y luego integrando numéricamenteθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}comoπ~(incógnitai|y)=∑kπ~(incógnitai|θk,y)×π~(θk|y)×Δk,{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})=\sum _{k}{\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)\times {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})\times \Delta _{k},\end{aligned}}}donde la suma se realiza sobre los valores deθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}, con pesos de integración dados porΔk{\displaystyle \Delta _{k}}. La aproximación deπ(θj|y){\displaystyle \pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})}se calcula mediante integración numéricaθ−j{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}}fuera deπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}.

Para obtener la distribución aproximadaπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}, se puede utilizar la relaciónπ(θ|y)=π(incógnita,θ,y)π(incógnita|θ,y)π(y),{\displaystyle {\begin{aligned}{\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)}{\pi \left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)\pi ({\boldsymbol {y}})}},\end{aligned}}}como punto de partida. Entoncesπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}se obtiene con un valor específico de los hiperparámetrosθ=θk{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}_{k}}con la aproximación de Laplace [ 8 ]π~(θk|y)∝π(incógnita,θk,y)π~GRAMO(incógnita|θk,y)|incógnita=incógnita∗(θk),∝π(y|incógnita,θk)π(incógnita|θk)π(θk)π~GRAMO(incógnita|θk,y)|incógnita=incógnita∗(θk),{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})&\propto \left.{\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\\&\propto \left.{\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {\theta }}_{k})}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\end{aligned}}}dóndeπ~GRAMO(incógnita|θk,y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}es la aproximación gaussiana aπ(incógnita|θk,y){\displaystyle {\pi }\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}cuyo modo en un momento dadoθk{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{k}}esincógnita∗(θk){\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})}. La moda se puede encontrar numéricamente, por ejemplo, con el método de Newton-Raphson .

El truco en la aproximación de Laplace anterior es el hecho de que la aproximación gaussiana se aplica sobre el condicional completo deincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}en el denominador ya que suele estar cerca de una gaussiana debido a la propiedad GMRF deincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}Aplicar la aproximación aquí mejora la precisión del método, ya que la posteriorπ(θ|y){\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}en sí mismo no tiene por qué estar cerca de una gaussiana, por lo que la aproximación gaussiana no se aplica directamente aπ(θ|y){\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}La segunda propiedad importante de un GMRF es la escasez de la matriz de precisión.Qθk{\displaystyle {\boldsymbol {Q}}_{{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}, es necesario para el cálculo eficiente deπ~(θk|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})}para cada valorθk{\displaystyle {{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}. [ 8 ]

Obtención de la distribución aproximadaπ~(incógnitai|θk,y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}es más complejo, y el método INLA proporciona tres opciones para esto: aproximación gaussiana, aproximación de Laplace o la aproximación de Laplace simplificada. [ 8 ] Para la integración numérica para obtenerπ~(incógnitai|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})}, también hay tres opciones disponibles: búsqueda en cuadrícula, diseño compuesto central o Bayes empírico. [ 8 ]

Referencias

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  3. ↑ MacKay, David JC (2003). "Teoría de la información, inferencia y algoritmos de aprendizaje, capítulo 27: el método de Laplace" (PDF) .
  4. ↑ Hartigan, JA (1983). "Normalidad asintótica de las distribuciones posteriores". Teoría bayesiana . Springer Series in Statistics. Nueva York: Springer. pp. 107–118 . doi : 10.1007/978-1-4613-8242-3_11 . ISBN  978-1-4613-8244-7.
  5. ↑ Kass, Robert E.; Tierney, Luke; Kadane, Joseph B. (1990). «La validez de las expansiones posteriores basadas en el método de Laplace». En Geisser, S.; Hodges, JS; Press, SJ; Zellner, A. (eds.). Métodos bayesianos y de máxima verosimilitud en estadística y econometría . Elsevier. pp. 473–488 . ISBN  0-444-88376-2.
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  7. ↑ Williams, Christopher KI; Barber, David (1998). "Clasificación bayesiana con procesos gaussianos" (PDF) . IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 20 (12). IEEE: 1342– 1351. doi : 10.1109/34.735807 .
  8. 1 2 3 4 5 6 Rue, Håvard; Martino, Sara; Chopin, Nicolas (2009). "Inferencia bayesiana aproximada para modelos gaussianos latentes mediante aproximaciones de Laplace anidadas integradas". JR Statist. Soc. B . 71 (2): 319– 392. doi : 10.1111/j.1467-9868.2008.00700.x . hdl : 2066/75507 . S2CID 1657669 . 
  9. ↑ Taylor, Benjamin M.; Diggle, Peter J. (2014). "¿INLA o MCMC? Un tutorial y una evaluación comparativa para la predicción espacial en procesos de Cox log-gaussianos". Journal of Statistical Computation and Simulation . 84 (10): 2266– 2284. arXiv : 1202.1738 . doi : 10.1080/00949655.2013.788653 . S2CID 88511801 . 
  10. ↑ Teng, M.; Nathoo, F.; Johnson, TD (2017). "Cálculo bayesiano para procesos de Cox log-gaussianos: un análisis comparativo de métodos" . Journal of Statistical Computation and Simulation . 87 (11): 2227– 2252. doi : 10.1080/00949655.2017.1326117 . PMC 5708893. PMID 29200537 .  
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  17. ↑ "Proyecto R-INLA" . Consultado el 21 de abril de 2022 .

Lecturas adicionales

  • Amaral Turkman, M. Antónia; Paulino, Carlos Daniel; Müller, Peter (2019). «El método clásico de Laplace». Estadística bayesiana computacional  : una introducción . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 154–159 . ISBN  978-1-108-48103-8.
  • Gomez-Rubio, Virgilio (2021). Inferencia bayesiana con INLA . Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-03-217453-2.
  • Tanner, Martin A. (1996). «Momentos posteriores y marginalización basados ​​en el método de Laplace». Herramientas para la inferencia estadística . Nueva York: Springer. págs. 44–51 . ISBN  0-387-94688-8.