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Articulo de referencia

proceso de varianza gamma

Tres ejemplos de trayectorias de procesos de varianza gamma (en rojo, verde y negro, respectivamente). En la teoría de procesos estocásticos , una rama de la teoría matemática d...

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Tres ejemplos de trayectorias de procesos de varianza gamma (en rojo, verde y negro, respectivamente).

En la teoría de procesos estocásticos , una rama de la teoría matemática de la probabilidad , el proceso de varianza gamma ( VG ) , también conocido como movimiento de Laplace , es un proceso de Lévy determinado por un cambio de tiempo aleatorio. Este proceso tiene momentos finitos , lo que lo distingue de muchos otros procesos de Lévy. El proceso VG carece de componente de difusión y, por lo tanto, es un proceso de saltos puros . Los incrementos son independientes y siguen una distribución de varianza gamma , que es una generalización de la distribución de Laplace .

Existen varias representaciones del proceso VG que lo relacionan con otros procesos. Por ejemplo, se puede escribir como un movimiento browniano.W(t){\displaystyle W(t)}con derivaθt{\displaystyle \theta t}sometido a un cambio de tiempo aleatorio que sigue un proceso gammaΓ(t;1,ν){\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}(equivalentemente se encuentra en la literatura la notaciónΓ(t;γ=1/ν,λ=1/ν){\displaystyle \Gamma (t;\gamma =1/\nu ,\lambda =1/\nu )}):

incógnitaVGRAMO(t;σ,ν,θ):=θΓ(t;1,ν)+σW(Γ(t;1,ν)).{\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu ))\quad .}

Una forma alternativa de expresar esto es que el proceso de varianza gamma es un movimiento browniano subordinado a un subordinador gamma .

Dado que el proceso VG es de variación finita, puede escribirse como la diferencia de dos procesos gamma independientes: [ 1 ]

incógnitaVGRAMO(t;σ,ν,θ):=Γ(t;μpag,μpag2ν)−Γ(t;μq,μq2ν){\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}

dónde

μpag:=12θ2+2σ2ν+θ2yμq:=12θ2+2σ2ν−θ2.{\displaystyle \mu _{p}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}+{\frac {\theta }{2}}\quad \quad {\text{y}}\quad \quad \mu _{q}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}-{\frac {\theta }{2}}\quad .}

Alternativamente, puede aproximarse mediante un proceso de Poisson compuesto que conduce a una representación con saltos explícitamente dados (independientes) y sus ubicaciones. Esta última caracterización permite comprender la estructura de la trayectoria de la muestra con la ubicación y los tamaños de los saltos. [ 2 ]

Sobre la historia temprana del proceso varianza-gamma, véase Seneta (2000). [ 3 ]

Momentos

La media de un proceso gamma de varianza es independiente deσ{\displaystyle \sigma }yν{\displaystyle \nu }y es dado por

mi⁡[incógnita(t)]=θt{\displaystyle \operatorname {E} [X(t)]=\theta t}

La varianza se da como

Var⁡[incógnita(t)]=(θ2ν+σ2)t{\displaystyle \operatorname {Var} [X(t)]=(\theta ^{2}\nu +\sigma ^{2})t}

El tercer momento central es

mi⁡[(incógnita(t)−mi⁡[incógnita(t)])3]=(2θ3ν2+3σ2θν)t{\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{3}]=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\theta \nu )t}

El cuarto momento central es

mi⁡[(incógnita(t)−mi⁡[incógnita(t)])4]=(3σ4ν+12σ2θ2ν2+6θ4ν3)t+(3σ4+6σ2θ2ν+3θ4ν2)t2{\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}}

Precios de las opciones

El proceso VG puede ser ventajoso para la valoración de opciones, ya que permite un modelado más amplio de la asimetría y la curtosis que el movimiento browniano . De este modo, el modelo de varianza gamma permite valorar consistentemente opciones con diferentes precios de ejercicio y vencimientos utilizando un único conjunto de parámetros. Madan y Seneta presentan una versión simétrica del proceso de varianza gamma. [ 4 ] Madan, Carr y Chang [ 1 ] extienden el modelo para permitir una forma asimétrica y presentan una fórmula para valorar opciones europeas bajo el proceso de varianza gamma.

Hirsa y Madan muestran cómo valorar opciones americanas bajo varianza gamma. [ 5 ] Fiorani presenta soluciones numéricas para opciones barrera europeas y americanas bajo el proceso de varianza gamma. [ 6 ] También proporciona código informático para valorar opciones barrera europeas y americanas estándar y de barrera bajo el proceso de varianza gamma.

Lemmens et al. [ 7 ] construyen límites para opciones asiáticas aritméticas para varios modelos de Lévy, incluido el modelo gamma de varianza.

Aplicaciones a la modelización del riesgo crediticio

El proceso de varianza gamma se ha aplicado con éxito en la modelización del riesgo de crédito en modelos estructurales. La naturaleza de salto puro del proceso y la posibilidad de controlar la asimetría y la curtosis de la distribución permiten que el modelo valore correctamente el riesgo de impago de los títulos con vencimiento a corto plazo, algo que generalmente no es posible con modelos estructurales en los que los activos subyacentes siguen un movimiento browniano. Fiorani, Luciano y Semeraro [ 8 ] modelan los swaps de incumplimiento crediticio bajo varianza gamma. En una extensa prueba empírica, demuestran el mejor rendimiento de la valoración bajo varianza gamma, en comparación con otros modelos presentados en la literatura.

Simulación

Los métodos de Monte Carlo para el proceso de varianza gamma son descritos por Fu (2000). [ 9 ] Los algoritmos son presentados por Korn et al. (2010). [ 10 ]

Simulación de VG como movimiento browniano con cambio de tiempo gamma

  • Entrada: Parámetros VGθ,σ,ν{\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu }y los incrementos de tiempoΔt1,…,Δtnorte{\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}, dónde∑i=1norteΔti=T.{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}
  • Inicialización: Establecer X (0)  =  0.
  • Bucle: Para i = 1 a N :
  1. Generar gamma independienteΔGRAMOi∼Γ(Δti/ν,ν){\displaystyle \Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )}y normalZi∼norte(0,1){\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}variables, independientemente de variables aleatorias pasadas.
  2. Devolverincógnita(ti)=incógnita(ti−1)+θΔGRAMOi+σΔGRAMOiZi.{\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \,\Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.}

Simulación de VG como diferencia de gammas

Este enfoque [ 9 ] [ 10 ] se basa en la diferencia de la representación gammaincógnitaVGRAMO(t;σ,ν,θ)=Γ(t;μpag,μpag2ν)−Γ(t;μq,μq2ν){\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}, dóndeμpag,μq,ν{\displaystyle \mu _{p},\mu _{q},\nu }se definen como se indicó anteriormente.

  • Entrada: Parámetros VG [θ,σ,ν,μpag,μq{\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}}] y incrementos de tiempoΔt1,…,Δtnorte{\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}, dónde∑i=1norteΔti=T.{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}
  • Inicialización: Establecer X (0) = 0.
  • Bucle: Para i = 1 a N :
  1. Generar variables gamma independientesγi−∼Γ(Δti/ν,νμq),γi+∼Γ(Δti/ν,νμpag),{\displaystyle \gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),}independientemente de las variables aleatorias pasadas.
  2. Devolverincógnita(ti)=incógnita(ti−1)+Γi+(t)−Γi−(t).{\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\Gamma _{i}^{+}(t)-\Gamma _{i}^{-}(t).}

Varianza gamma como distribución 2-EPT

Bajo la restricción que1ν{\displaystyle {\frac {1}{\nu }}}Si la varianza de la distribución gamma es entera, puede representarse como una función de densidad de probabilidad 2-EPT . Bajo esta suposición, es posible derivar precios de opciones simples en forma cerrada y sus griegas asociadas . Para una descripción completa, véase [ 11 ] .

Referencias

  1. 1 2 Dilip Madan; Peter Carr; Eric Chang (1998). "El proceso de varianza gamma y la valoración de opciones" (PDF) . European Finance Review . 2 : 79–105 .
  2. ↑ Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y generalizaciones : una revisión con aplicaciones a las comunicaciones, la economía, la ingeniería y las finanzas . Boston [ua]: Birkhäuser. ISBN  978-0817641665.
  3. ↑ Eugene Seneta (2000). «Los primeros años del proceso varianza-gamma». En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
  4. ↑ Madan, Dilip B.; Seneta, Eugene (1990). "El modelo de varianza gamma (VG) para los rendimientos del mercado de valores". Journal of Business . 63 (4): 511– 524. doi : 10.1086/296519 . JSTOR 2353303 . 
  5. ↑ Hirsa, Ali; Madan, Dilip B. (2003). "Pricing American Options Under Variance Gamma". Journal of Computational Finance . 7 (2): 63– 80. doi : 10.21314/JCF.2003.112 . S2CID 8283519 . 
  6. ↑ Filo Fiorani (2004). Valoración de opciones bajo el proceso de varianza gamma . Tesis doctoral inédita. pág. 380. SSRN 1411741 .  PDF .
  7. ↑ Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Pricing bounds for discrete arithmetic Asian options under Lévy models", Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193– 5207, Bibcode : 2010PhyA..389.5193L , doi : 10.1016/j.physa.2010.07.026
  8. ↑ Filo Fiorani, Elisa Luciano y Patrizia Semeraro, (2007), Default único y conjunto en un modelo estructural con activos puramente discontinuos, Documento de trabajo n.° 41, Cuadernos Carlo Alberto , Collegio Carlo Alberto. URLPDF​
  9. 1 2 Michael C. Fu (2000). "Varianza-Gamma y Monte Carlo". En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
  10. 1 2 Ralf Korn; Elke Korn y Gerald Kroisandt (2010). Métodos y modelos de Monte Carlo en finanzas y seguros . Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-7618-9.(Sección 7.3.3)
  11. ↑ Sexton, C. y Hanzon, B.,"Cálculos de espacio de estados para densidades EPT bilaterales con aplicaciones de modelado financiero", www.2-ept.com