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simulación de grandes remolinos

Simulación de grandes remolinos de un campo de velocidad de gas turbulento . La simulación de grandes remolinos ( LES ) es un modelo matemático de turbulencia utilizado en la di...

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Simulación de grandes remolinos de un campo de velocidad de gas turbulento .

La simulación de grandes remolinos ( LES ) es un modelo matemático de turbulencia utilizado en la dinámica de fluidos computacional . Fue propuesta inicialmente en 1963 por Joseph Smagorinsky para simular corrientes de aire atmosféricas, [ 1 ] y explorada por primera vez por James Deardorff (1970). [ 2 ] Actualmente, la LES se aplica en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería, incluyendo la combustión , [ 3 ] la acústica, [ 4 ] y simulaciones de la capa límite atmosférica. [ 5 ] [ 6 ]

La simulación de flujos turbulentos mediante la resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes requiere considerar una amplia gama de escalas temporales y espaciales, las cuales influyen en el campo de flujo. Si bien esta resolución puede lograrse con la simulación numérica directa (DNS), esta técnica es computacionalmente costosa, lo que impide la simulación de sistemas de ingeniería prácticos con geometrías o configuraciones de flujo complejas, como chorros turbulentos, bombas, vehículos y trenes de aterrizaje.

La idea principal detrás de LES es reducir el costo computacional al ignorar las escalas de longitud más pequeñas, que son las más costosas computacionalmente para resolver, mediante el filtrado de paso bajo de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este filtrado de paso bajo, que puede considerarse como un promedio temporal y espacial, elimina eficazmente la información de pequeña escala de la solución numérica. Sin embargo, esta información no es irrelevante, y su efecto en el campo de flujo debe modelarse, una tarea que constituye un área activa de investigación para problemas en los que las pequeñas escalas pueden desempeñar un papel importante, como los flujos cerca de la pared, [ 7 ] [ 8 ] los flujos reactivos, [ 3 ] y los flujos multifásicos. [ 9 ]

Definición y propiedades del filtro

Un campo de velocidad producido por una simulación numérica directa (DNS) de turbulencia homogénea en descomposición . El tamaño del dominio esL3{\displaystyle L^{3}}.
El mismo campo de velocidad DNS filtrado usando un filtro de caja yΔ=L/32{\displaystyle \Delta =L/32}.
El mismo campo de velocidad DNS filtrado usando un filtro de caja yΔ=L/16{\displaystyle \Delta =L/16}.

Se puede aplicar un filtro LES a un campo espacial y temporal.ϕ(incógnita,t){\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}y realizar una operación de filtrado espacial, una operación de filtrado temporal o ambas. El campo filtrado, denotado con una barra, se define como: [ 10 ] [ 11 ]

ϕ(incógnita,t)¯=∫−∞∞∫−∞∞ϕ(r,τ)GRAMO(incógnita−r,t−τ)dτdr{\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}

dóndeGRAMO{\displaystyle G}es el núcleo de convolución del filtro. Esto también se puede escribir como:

ϕ¯=GRAMO⋆ϕ.{\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}

El núcleo del filtroGRAMO{\displaystyle G}tiene una escala de longitud de corte asociadaΔ{\displaystyle \Delta }y escala de tiempo límiteτdo{\displaystyle \tau _{c}}Las escalas más pequeñas que estas se eliminan deϕ¯{\displaystyle {\overline {\phi }}}. Utilizando la definición de filtro anterior, cualquier campoϕ{\displaystyle \phi }puede dividirse en una porción filtrada y subfiltrada (denotada con una prima), como

ϕ=ϕ¯+ϕ′.{\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}

La operación de filtrado de simulación de grandes remolinos no satisface las propiedades de un operador de Reynolds .

Ecuaciones gobernantes filtradas

Las ecuaciones que rigen LES se obtienen filtrando las ecuaciones diferenciales parciales que rigen el campo de flujo.ρtú(incógnita,t){\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}Existen diferencias entre las ecuaciones que rigen el LES incompresible y compresible, lo que lleva a la definición de una nueva operación de filtrado.

Flujo incompresible

Para flujo incompresible , la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes se filtran, dando como resultado la ecuación de continuidad incompresible filtrada,

∂tú¯i∂incógnitai=0{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}

y las ecuaciones filtradas de Navier-Stokes,

∂tú¯i∂t+∂∂incógnitaj(túitúj¯)=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+ν∂∂incógnitaj(∂tú¯i∂incógnitaj+∂tú¯j∂incógnitai)=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+2ν∂∂incógnitajS¯ij,{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}

dóndepag¯{\displaystyle {\bar {p}}}es el campo de presión filtrado yS¯ij{\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}es el tensor de tasa de deformación evaluado utilizando la velocidad filtrada. El término de advección filtrada no linealtúitúj¯{\displaystyle {\overline {u_ {i} u_ {j}}}}La principal dificultad en la modelización LES radica en que requiere conocer el campo de velocidad sin filtrar, el cual es desconocido, por lo que debe modelarse. El análisis que sigue ilustra la dificultad que plantea la no linealidad, concretamente, que provoca interacción entre escalas grandes y pequeñas, impidiendo la separación de escalas.

El término de advección filtrada se puede dividir, siguiendo a Leonard (1975), [ 12 ] como:

túitúj¯=τij+tú¯itú¯j{\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}

dóndeτij{\displaystyle \tau _{ij}}es el tensor de tensión residual , de modo que las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas se convierten en

∂tú¯i∂t+∂∂incógnitaj(tú¯itú¯j)=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+2ν∂∂incógnitajS¯ij−∂τij∂incógnitaj{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}

con el tensor de tensiones residualesτij{\displaystyle \tau _{ij}}agrupando todos los términos no cerrados. Leonard descompuso este tensor de estrés comoτij=Lij+doij+Rij{\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}y proporcionó interpretaciones físicas para cada término.Lij=tú¯itú¯j¯−tú¯¯itú¯¯j{\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {\bar {u}}}_{j}}, el tensor de Leonard, representa interacciones entre grandes escalas,Rij=túi′túj′¯−túi¯′túj¯′{\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}-{\overline {u_{i}}}^{\prime }{\overline {u_{j}}}^{\prime }}, el término similar al estrés de Reynolds, representa las interacciones entre las escalas de subfiltro (SFS), ydoij=tú¯itúj′¯+tú¯jtúi′¯−tú¯¯itúj′¯−tú¯¯jtúi′¯{\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {u_{j}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{j}{\overline {u_{i}^{\prime }}}}, el tensor de Clark, [ 13 ] representa interacciones entre escalas grandes y pequeñas. [ 12 ] Modelando el término no cerradoτij{\displaystyle \tau _{ij}}es la tarea de los modelos de escala subreticular (SGS). Esto se ve dificultado por el hecho de que el tensor de tensión subreticularτij{\displaystyle \tau _{ij}}Es necesario tener en cuenta las interacciones entre todas las escalas, incluidas las escalas filtradas y las no filtradas.

La ecuación gobernante filtrada para un escalar pasivoϕ{\displaystyle \phi }, como la fracción de mezcla o la temperatura, se puede escribir como

∂ϕ¯∂t+∂∂incógnitaj(tú¯jϕ¯)=∂Jϕ¯∂incógnitaj+∂qj∂incógnitaj{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}

dóndeJϕ{\displaystyle J_{\phi }}es el flujo difusivo deϕ{\displaystyle \phi }, yqj{\displaystyle q_{j}}es el flujo del subfiltro para el escalarϕ{\displaystyle \phi }. El flujo difusivo filtradoJϕ¯{\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}no está cerrado, a menos que se asuma una forma particular para él, como un modelo de difusión de gradiente.Jϕ=Dϕ∂ϕ∂incógnitai{\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}.qj{\displaystyle q_{j}}se define de forma análoga aτij{\displaystyle \tau _{ij}},

qj=ϕ¯tú¯j−ϕtúj¯{\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}

y de manera similar, puede dividirse en contribuciones de interacciones entre diversas escalas. Este flujo subfiltro también requiere un modelo subfiltro.

Derivación

Utilizando la notación de Einstein , las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en coordenadas cartesianas son:

∂túi∂incógnitai=0{\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}
∂túi∂t+∂túitúj∂incógnitaj=−1ρ∂pag∂incógnitai+ν∂2túi∂incógnitaj∂incógnitaj.{\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}

Filtrar la ecuación de momento da como resultado:

∂túi∂t¯+∂túitúj∂incógnitaj¯=−1ρ∂pag∂incógnitai¯+ν∂2túi∂incógnitaj∂incógnitaj¯.{\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}

Si asumimos que el filtrado y la diferenciación conmutan, entonces

∂tú¯i∂t+∂túitúj∂incógnitaj¯=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+ν∂2tú¯i∂incógnitaj∂incógnitaj.{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}

Esta ecuación modela los cambios en el tiempo de las variables filtradas.tú¯i{\displaystyle {\bar {u}}_{i}}Dado que las variables no filtradastúi{\displaystyle u_{i}}Como no se conocen, es imposible calcularlos directamente.∂túitúj∂incógnitaj¯{\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}. Sin embargo, la cantidad∂tú¯itú¯j∂incógnitaj{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}}Se conoce. Se realiza una sustitución:

∂tú¯i∂t+∂tú¯itú¯j∂incógnitaj=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+ν∂2tú¯i∂incógnitaj∂incógnitaj−(∂túitúj∂incógnitaj¯−∂tú¯itú¯j∂incógnitaj).{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}\right).}

Dejarτij=túitúj¯−tú¯itú¯j{\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}El conjunto de ecuaciones resultante son las ecuaciones LES:

∂tú¯i∂t+tú¯j∂tú¯i∂incógnitaj=−1ρ∂pag¯∂incógnitai+ν∂2tú¯i∂incógnitaj∂incógnitaj−∂τij∂incógnitaj.{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}

Ecuaciones gobernantes compresibles

Para las ecuaciones que rigen el flujo compresible, cada ecuación, comenzando con la conservación de la masa, se filtra. Esto da como resultado:

∂ρ¯∂t+∂túiρ¯∂incógnitai=0{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}

lo que resulta en un término de subfiltro adicional. Sin embargo, es deseable evitar tener que modelar las escalas de subfiltro de la ecuación de conservación de masa. Por esta razón, Favre [ 14 ] propuso una operación de filtrado ponderada por densidad, llamada filtrado de Favre, definida para una cantidad arbitraria.ϕ{\displaystyle \phi }como:

ϕ~=ρϕ¯ρ¯{\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}

lo cual, en el límite de incompresibilidad, se convierte en la operación de filtrado normal. Esto hace que la ecuación de conservación de la masa sea:

∂ρ¯∂t+∂ρ¯tú~i∂incógnitai=0.{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0.}

Este concepto puede extenderse para escribir la ecuación de momento filtrada de Favre para flujo compresible. Siguiendo a Vreman: [ 15 ]

∂ρ¯tú~i∂t+∂ρ¯tú~itú~j∂incógnitaj+∂pag¯∂incógnitai−∂σ~ij∂incógnitaj=−∂ρ¯τijr∂incógnitaj+∂∂incógnitaj(σ¯ij−σ~ij){\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}

dóndeσij{\displaystyle \sigma _{ij}}es el tensor de esfuerzo cortante , dado para un fluido newtoniano por:

σij=2μ(T)Sij−23μ(T)δijSkk{\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}

y el término∂∂incógnitaj(σ¯ij−σ~ij){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}representa una contribución viscosa subfiltro a partir de la evaluación de la viscosidadμ(T){\displaystyle \mu (T)}utilizando la temperatura filtrada de FavreT~{\displaystyle {\tilde {T}}}. El tensor de tensiones subgrid para el campo de momento filtrado de Favre viene dado por

τijr=túi⋅túj~−tú~itú~j{\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}}

Por analogía, la descomposición de Leonard también puede escribirse para el tensor de tensiones residuales de un triple producto filtrado.ρϕψ¯{\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}El producto triple se puede reescribir utilizando el operador de filtrado de Favre comoρ¯ϕψ~{\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}, que es un término no cerrado (requiere conocimiento de los camposϕ{\displaystyle \phi }yψ{\displaystyle \psi }, cuando solo los camposϕ~{\displaystyle {\tilde {\phi }}}yψ~{\displaystyle {\tilde {\psi }}}son conocidos). Se puede dividir de una manera análoga atúitúj¯{\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}arriba, lo que da como resultado un tensor de tensión subfiltro.ρ¯(ϕψ~−ϕ~ψ~){\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}. Este término de subfiltro se puede dividir en contribuciones de tres tipos de interacciones: el tensor de LeonardLij{\displaystyle L_{ij}}, que representa las interacciones entre escalas resueltas; el tensor de Clarkdoij{\displaystyle C_{ij}}, que representa las interacciones entre escalas resueltas y no resueltas; y el tensor de ReynoldsRij{\displaystyle R_{ij}}, que representa interacciones entre escalas no resueltas. [ 16 ]

Ecuación de energía cinética filtrada

Además de las ecuaciones de masa y momento filtradas, filtrar la ecuación de energía cinética puede proporcionar información adicional. El campo de energía cinética se puede filtrar para obtener la energía cinética total filtrada:

mi¯=12túitúi¯{\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}

y la energía cinética filtrada total se puede descomponer en dos términos: la energía cinética del campo de velocidad filtrado.miF{\displaystyle E_{f}},

miF=12túi¯túi¯{\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}

y la energía cinética residualkr{\displaystyle k_{r}},

kr=12túitúi¯−12túi¯túi¯=12τiir{\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}

de tal manera quemi¯=miF+kr{\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}.

La ecuación de conservación paramiF{\displaystyle E_{f}}se puede obtener multiplicando la ecuación de transporte de momento filtrada portúi¯{\displaystyle {\overline {u_{i}}}}para producir:

∂miF∂t+túj¯∂miF∂incógnitaj+1ρ∂túi¯pag¯∂incógnitai+∂túi¯τijr∂incógnitaj−2ν∂túi¯S¯ij∂incógnitaj=−ϵF−Π{\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S}}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }

dóndeϵF=2νS¯ijS¯ij{\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}es la disipación de la energía cinética del campo de velocidad filtrado por la tensión viscosa, yΠ=−τijrS¯ij{\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S}}_{ij}}representa la disipación de energía cinética a escala subfiltro (SFS).

Los términos del lado izquierdo representan el transporte, y los términos del lado derecho son términos de sumidero que disipan energía cinética. [ 10 ]

ElΠ{\displaystyle \Pi }El término de disipación SFS es de particular interés, ya que representa la transferencia de energía desde grandes escalas resueltas a pequeñas escalas no resueltas. En promedio,Π{\displaystyle \Pi }transfiere energía de escalas grandes a pequeñas. Sin embargo, instantáneamenteΠ{\displaystyle \Pi }puede ser positivo o negativo, lo que significa que también puede actuar como un término fuente paramiF{\displaystyle E_{f}}, la energía cinética del campo de velocidad filtrado. La transferencia de energía de escalas no resueltas a escalas resueltas se denomina retrodispersión (y de igual modo, la transferencia de energía de escalas resueltas a escalas no resueltas se denomina dispersión hacia adelante ). [ 17 ]

Métodos numéricos

La simulación de grandes remolinos implica la solución de las ecuaciones gobernantes filtradas discretas utilizando dinámica de fluidos computacional . LES resuelve las escalas a partir del tamaño del dominio.L{\displaystyle L}hasta el tamaño del filtroΔ{\displaystyle \Delta }y, como tal, una porción sustancial de las fluctuaciones turbulentas de alto número de onda debe resolverse. Esto requiere esquemas numéricos de alto orden o una resolución de malla fina si se utilizan esquemas numéricos de bajo orden. El capítulo 13 de Pope [ 10 ] aborda la cuestión de cuán fina debe ser la resolución de la malla.Δincógnita{\displaystyle \Delta x}es necesario para resolver un campo de velocidad filtradotú¯(incógnita){\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}. Ghosal [ 18 ] encontró que para esquemas de discretización de bajo orden, como los utilizados en métodos de volumen finito, el error de truncamiento puede ser del mismo orden que las contribuciones de escala del subfiltro, a menos que el ancho del filtroΔ{\displaystyle \Delta }es considerablemente mayor que el espaciado de la cuadrículaΔincógnita{\displaystyle \Delta x}. Si bien los esquemas de orden par tienen error de truncamiento, no son disipativos, [ 19 ] y debido a que los modelos de escala de subfiltro son disipativos, los esquemas de orden par no afectarán las contribuciones del modelo de escala de subfiltro tan fuertemente como los esquemas disipativos.

Implementación del filtro

La operación de filtrado en la simulación de grandes remolinos puede ser implícita o explícita. El filtrado implícito reconoce que el modelo de subescala del filtro se disipará de la misma manera que en muchos esquemas numéricos. De este modo, se puede asumir que la malla, o el esquema de discretización numérica, es el filtro paso bajo de LES. Si bien esto aprovecha al máximo la resolución de la malla y elimina el costo computacional de calcular un término del modelo de subescala del filtro, resulta difícil determinar la forma del filtro LES, lo cual está asociado con algunos problemas numéricos. Además, el error de truncamiento también puede convertirse en un problema. [ 20 ]

En el filtrado explícito, se aplica un filtro LES a las ecuaciones de Navier-Stokes discretizadas, lo que proporciona una forma de filtro bien definida y reduce el error de truncamiento. Sin embargo, el filtrado explícito requiere una malla más fina que el filtrado implícito, y el costo computacional aumenta con(Δincógnita)4{\displaystyle (\Delta x)^{4}}El capítulo 8 de Sagaut (2006) trata los aspectos numéricos de LES con mayor detalle. [ 11 ]

Condiciones de contorno de las simulaciones de grandes remolinos

Las condiciones de contorno de entrada afectan significativamente la precisión de LES, y el tratamiento de las condiciones de entrada para LES es un problema complejo. Teóricamente, una buena condición de contorno para LES debería contener las siguientes características: [ 21 ]

  1. proporcionar información precisa sobre las características del flujo, es decir, la velocidad y la turbulencia;
  2. que satisfacen las ecuaciones de Navier-Stokes y otras leyes de la física;
  3. que sea fácil de implementar y adaptar a diferentes casos.

Actualmente, los métodos para generar condiciones de entrada para LES se dividen ampliamente en dos categorías clasificadas por Tabor et al.: [ 22 ]

El primer método para generar entradas turbulentas consiste en sintetizarlas según casos particulares, como las técnicas de Fourier, la descomposición ortogonal principal (POD) y los métodos de vórtices. Las técnicas de síntesis buscan construir un campo turbulento en las entradas que posea propiedades similares a la turbulencia y faciliten la especificación de parámetros como la energía cinética y la tasa de disipación. Además, las condiciones de entrada generadas mediante números aleatorios son computacionalmente económicas. Sin embargo, este método presenta un inconveniente importante: la turbulencia sintetizada no satisface la estructura física del flujo de fluidos regida por las ecuaciones de Navier-Stokes. [ 21 ]

El segundo método implica un cálculo preliminar independiente para generar una base de datos de turbulencia que se puede incorporar al cálculo principal en las entradas. Esta base de datos (a veces denominada «biblioteca») se puede generar de diversas maneras, como mediante dominios cíclicos, bibliotecas predefinidas y mapeo interno. Sin embargo, el método de generación de flujo de entrada turbulento mediante simulaciones preliminares requiere una gran capacidad de cálculo.

Los investigadores que examinan la aplicación de varios tipos de cálculos sintéticos y precursores han descubierto que cuanto más realista es la turbulencia de entrada, más precisos son los resultados que predice LES. [ 21 ]

Modelado de escalas no resueltas

Para analizar el modelado de escalas no resueltas, primero es necesario clasificarlas. Se dividen en dos grupos: escalas subfiltro resueltas (SFS) y escalas subcuadrícula (SGS).

Las escalas de subfiltro resueltas representan las escalas con números de onda mayores que el número de onda de corte.kdo{\displaystyle k_{c}}pero cuyos efectos se ven atenuados por el filtro. Las escalas subfiltro resueltas solo existen cuando se utilizan filtros no locales en el espacio de ondas (como un filtro rectangular o gaussiano ). Estas escalas subfiltro resueltas deben modelarse mediante la reconstrucción del filtro.

Las escalas de subrejilla son todas aquellas escalas que son más pequeñas que el ancho del filtro de corte.Δ{\displaystyle \Delta }La forma del modelo SGS depende de la implementación del filtro. Como se menciona en la sección de Métodos numéricos para LES , si se considera LES implícito, no se implementa ningún modelo SGS y se supone que los efectos numéricos de la discretización imitan la física de los movimientos turbulentos no resueltos.

Modelos a escala subreticular

Sin una descripción universalmente válida de la turbulencia, se debe utilizar información empírica al construir y aplicar modelos SGS, complementada con restricciones físicas fundamentales como la invariancia galileana [ 10 ] . [ 23 ] Existen dos clases de modelos SGS; la primera clase son los modelos funcionales y la segunda clase son los modelos estructurales . Algunos modelos pueden clasificarse como ambos.

Modelos funcionales (viscosidad de remolino)

Los modelos funcionales son más simples que los modelos estructurales, centrándose únicamente en disipar energía a una velocidad físicamente correcta. Estos se basan en un enfoque de viscosidad de remolino artificial, donde los efectos de la turbulencia se agrupan en una viscosidad turbulenta. El enfoque trata la disipación de energía cinética a escalas subreticulares como análoga a la difusión molecular. En este caso, la parte desviadora deτij{\displaystyle \tau _{ij}}se modela como:

τijr−13τkkδij=−2νtS¯ij{\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}

dóndeνt{\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}es la viscosidad de remolino turbulento yS¯ij=12(∂tú¯i∂incógnitaj+∂tú¯j∂incógnitai){\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}es el tensor de velocidad de deformación.

Según el análisis dimensional , la viscosidad turbulenta debe tener unidades de[νt]=metro2s{\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}La mayoría de los modelos SGS de viscosidad turbulenta modelan la viscosidad turbulenta como el producto de una escala de longitud característica y una escala de velocidad característica.

Modelo de Smagorinsky-Lilly

El primer modelo SGS desarrollado fue el modelo SGS de Smagorinsky-Lilly, desarrollado por Joseph Smagorinsky [ 1 ] y utilizado en la primera simulación LES por Deardorff. [ 2 ] Este modelo representa la viscosidad turbulenta de la siguiente manera:

νt=doΔ22S¯ijS¯ij=doΔ2|S¯|{\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}

dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el tamaño de la cuadrícula ydo{\displaystyle C}es una constante.

Este método supone que la producción y disipación de energía de las pequeñas escalas están en equilibrio, es decir,ϵ=Π{\displaystyle \epsilon =\Pi }.

Modelo dinámico (Germano et al. y otros)

Germano et al. [ 24 ] identificaron varios estudios que utilizaban el modelo de Smagorinsky y que encontraron diferentes valores para la constante de Smagorinsky.do{\displaystyle C}para diferentes configuraciones de flujo. En un intento por formular un enfoque más universal para los modelos SGS, Germano et al. propusieron un modelo dinámico de Smagorinsky, que utilizaba dos filtros: un filtro LES de cuadrícula, denominadoF¯{\displaystyle {\overline {f}}}y un filtro LES de prueba, denominadoF^{\displaystyle {\hat {f}}}para cualquier campo turbulentoF{\displaystyle f}El filtro de prueba es de mayor tamaño que el filtro de cuadrícula y añade un suavizado adicional al campo de turbulencia sobre los campos ya suavizados representados por el LES. Al aplicar el filtro de prueba a las ecuaciones del LES (que se obtienen al aplicar el filtro de "cuadrícula" a las ecuaciones de Navier-Stokes), se obtiene un nuevo conjunto de ecuaciones idénticas en forma, pero con la tensión SGS.τij=túitúj¯−tú¯itú¯j{\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}reemplazado porTij=túitúj¯^−tú¯^itú¯^j{\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}Germano et al. observaron que, aunque ningunoτij{\displaystyle \tau _{ij}}niTij{\displaystyle T_{ij}}puede calcularse exactamente debido a la presencia de escalas no resueltas, existe una relación exacta que conecta estos dos tensores. Esta relación, conocida como la identidad de Germano, es Lij=Tij−τ^ij.{\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.} AquíLij=tú¯itú¯j^−tú¯i^tú¯j^{\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}puede evaluarse explícitamente ya que involucra solo las velocidades filtradas y la operación de filtrado de prueba. La importancia de la identidad es que si se supone que la turbulencia es autosimilar de modo que la tensión SGS en los niveles de rejilla y de prueba tienen la misma formaτij−(τkk/3)δij=−2doΔ2|S¯ij|S¯ij{\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}yTij−(Tkk/3)δij=−2doΔ^2|S¯^ij|S¯^ij{\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}, entonces la identidad de Germano proporciona una ecuación a partir de la cual se obtiene el coeficiente de Smagorinsky.do{\displaystyle C}(que ya no es una 'constante') puede determinarse potencialmente. [Inherente al procedimiento es el supuesto de que el coeficientedo{\displaystyle C}es invariante de escala (véase la revisión [ 25 ] )]. Para ello, se introdujeron dos pasos adicionales en la formulación original. Primero, se asumió que, aunquedo{\displaystyle C}En principio era variable, la variación era lo suficientemente lenta como para poder sacarla de la operación de filtrado.do(.)^=do(.)^{\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}Segundo, puesto quedo{\displaystyle C}era un escalar, la identidad de Germano se contrajo con un tensor de segundo rango (se eligió el tensor de tasa de deformación) para convertirlo en una ecuación escalar a partir de la cualdo{\displaystyle C}podría determinarse. Lilly [ 26 ] encontró un enfoque menos arbitrario y, por lo tanto, más satisfactorio para obtener C a partir de la identidad tensorial. Observó que la identidad de Germano requería la satisfacción de nueve ecuaciones en cada punto del espacio (de las cuales solo cinco son independientes) para una sola cantidad.do{\displaystyle C}. El problema de obtenerdo{\displaystyle C}Por lo tanto, estaba sobredeterminado. Por consiguiente, propuso quedo{\displaystyle C}se determinará utilizando un ajuste de mínimos cuadrados minimizando los residuos. Esto da como resultado

do=Lijmetroijmetroklmetrokl.{\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}

Aquí

metroij=αij−β^ij{\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}

y por brevedad αij=−2Δ^2|S¯^|S¯^ij{\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}, βij=−2Δ2|S¯|S¯ij{\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}} Los intentos iniciales de implementar el modelo en simulaciones LES resultaron infructuosos. En primer lugar, el coeficiente calculado no era en absoluto "de variación lenta" como se suponía y variaba tanto como cualquier otro campo turbulento. En segundo lugar, el calculadodo{\displaystyle C}podría ser tanto positivo como negativo. Este último hecho en sí mismo no debe considerarse una deficiencia, ya que las pruebas a priori que utilizan campos DNS filtrados han demostrado que la tasa de disipación de la subrejilla local −τijS¯ij{\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}En un campo turbulento, es casi igual de probable que sea negativo que positivo, aunque la integral sobre el dominio del fluido siempre sea positiva, lo que representa una disipación neta de energía en las grandes escalas. Una ligera preponderancia de valores positivos en contraposición a la positividad estricta de la viscosidad turbulenta da como resultado la disipación neta observada. Esta denominada "retrodispersión" de energía de pequeñas a grandes escalas corresponde, de hecho, a valores negativos de C en el modelo de Smagorinsky. Sin embargo, se encontró que la formulación de Germano-Lilly no resultaba en cálculos estables. Se adoptó una medida ad hoc promediando el numerador y el denominador sobre direcciones homogéneas (donde tales direcciones existen en el flujo).

do=⟨Lijmetroij⟩⟨metroklmetrokl⟩.{\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}

Cuando el promedio involucró una muestra estadística lo suficientemente grande como para que el cálculodo{\displaystyle C}Cuando los valores eran positivos (o al menos raramente negativos), era posible realizar cálculos estables. Simplemente establecer los valores negativos a cero (un procedimiento llamado "recorte") con o sin el promedio también resultó en cálculos estables. Meneveau propuso [ 27 ] un promedio sobre trayectorias de fluidos lagrangianos con una "memoria" que decae exponencialmente. Esto se puede aplicar a problemas que carecen de direcciones homogéneas y puede ser estable si el tiempo efectivo sobre el cual se realiza el promedio es lo suficientemente largo, pero no tanto como para suavizar las inhomogeneidades espaciales de interés.

La modificación del método Germano realizada por Lilly, seguida de un promedio estadístico o una eliminación sintética de las regiones de viscosidad negativa, parece ad hoc, incluso si pudiera hacerse "funcionar". Ghosal et al. [ 28 ] sugirieron una formulación alternativa del procedimiento de minimización de mínimos cuadrados conocida como el "Modelo de Localización Dinámica" (DLM). En este enfoque, primero se define una cantidad.

miij=Lij−Tij+τ^ij{\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}

con los tensoresτij{\displaystyle \tau _{ij}}yTij{\displaystyle T_{ij}}reemplazado por el modelo SGS apropiado. Este tensor representa entonces la cantidad en la que el modelo de subrejilla no respeta la identidad de Germano en cada ubicación espacial. En el enfoque de Lilly,do{\displaystyle C}Luego se saca del sombrero del operador

do(.)^=do(.)^{\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}

haciendomiij{\displaystyle E_{ij}}una función algebraica dedo{\displaystyle C}que luego se determina exigiendo que miijmiij{\displaystyle E_{ij}E_{ij}}considerada como una función de C tiene el menor valor posible. Sin embargo, dado que lado{\displaystyle C}El valor así obtenido resulta ser tan variable como cualquier otra cantidad fluctuante en la turbulencia, la suposición original de la constancia dedo{\displaystyle C}no se puede justificar a posteriori. En el enfoque DLM se evita esta inconsistencia al no invocar el paso de eliminar C de la operación de filtrado de prueba. En cambio, se define un error global sobre todo el dominio de flujo mediante la cantidad

mi[do]=∫miijmiijdV{\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}

donde la integral abarca todo el volumen del fluido. Este error globalmi[do(incógnita,y,z,t)]{\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}es entonces un funcional de la función que varía espacialmentedo(incógnita,y,z,t){\displaystyle C(x,y,z,t)}(aquí el instante de tiempo,t{\displaystyle t}, es fijo y por lo tanto aparece solo como un parámetro) que se determina de manera que se minimice este funcional. La solución a este problema variacional es quedo{\displaystyle C}debe satisfacer una ecuación integral de Fredholm de segundo tipo

do(incógnita)=F(incógnita)+∫K(incógnita,y)do(y)dy{\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}

donde las funcionesK(incógnita,y){\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}yF(incógnita){\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}se definen en términos de los campos resueltosLij,αij,βij{\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}y, por lo tanto, se conocen en cada paso de tiempo y los rangos integrales abarcan todo el dominio del fluido. La ecuación integral se resuelve numéricamente mediante un procedimiento iterativo y se encontró que la convergencia era generalmente rápida si se utilizaba con un esquema de precondicionamiento. Aunque este enfoque variacional elimina una inconsistencia inherente en el enfoque de Lilly, lado(incógnita,y,z,t){\displaystyle C(x,y,z,t)}obtenido a partir de la ecuación integral aún mostraba la inestabilidad asociada con viscosidades negativas. Esto se puede resolver insistiendo en quemi[do]{\displaystyle E[C]}debe minimizarse sujeto a la restriccióndo(incógnita,y,z,t)≥0{\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}Esto conduce a una ecuación parado{\displaystyle C}que es no lineal

do(incógnita)=[F(incógnita)+∫K(incógnita,y)do(y)dy]+{\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}

Aquí el sufijo + indica la "parte positiva de", es decir,incógnita+=(incógnita+|incógnita|)/2{\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}Aunque superficialmente parezca un "recorte", no se trata de un esquema ad hoc, sino de una solución genuina del problema variacional restringido. Se ha comprobado que este modelo DLM(+) es estable y produce excelentes resultados para turbulencia isotrópica forzada y en descomposición, flujos de canal y una variedad de otras geometrías más complejas. Si un flujo tiene direcciones homogéneas (digamos las direcciones x y z), entonces se puede introducir la siguiente aproximación: do=do(y,t){\displaystyle C=C(y,t)}El enfoque variacional produce inmediatamente el resultado de Lilly con un promedio sobre direcciones homogéneas sin necesidad de modificaciones ad hoc de un resultado previo.

Una deficiencia del modelo DLM(+) era que no describía la retrodispersión, que se sabe que es un fenómeno real a partir del análisis de datos DNS. Se desarrollaron dos enfoques para abordar esto. En un enfoque debido a Carati et al. [ 29 ] se agrega una fuerza fluctuante con amplitud determinada por el teorema de fluctuación-disipación en analogía con la teoría de Landau de la hidrodinámica fluctuante. En el segundo enfoque, se observa que cualquier energía "retrodispersada" aparece en las escalas resueltas solo a expensas de la energía en las escalas subgrid. El DLM se puede modificar de manera simple para tener en cuenta este hecho físico de modo que permita la retrodispersión siendo inherentemente estable. Esta versión de la ecuación k del DLM, DLM(k), reemplaza Δ|S¯|{\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}en el modelo de viscosidad turbulenta de Smagorinsky pork{\displaystyle {\sqrt {k}}}como una escala de velocidad apropiada. El procedimiento para determinardo{\displaystyle C}permanece idéntico a la versión "sin restricciones" excepto que los tensoresαij=−2Δ^KS¯^ij{\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}, βij=−2Δ^kS¯ij{\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}donde la energía cinética de la subescala de prueba K está relacionada con la energía cinética de la subescala de la cuadrícula k medianteK=k+Lii/2{\displaystyle K=k+L_{ii}/2} (siguiendo con la traza de la identidad de Germano). Para determinar k ahora usamos una ecuación de transporte.

∂k∂t+túj∂k∂incógnitaj=−τijS¯ij−do∗Δk3/2+∂∂incógnitaj(DΔk∂k∂incógnitaj)+ν∂2k∂incógnitaj∂incógnitaj{\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}

dóndeν{\displaystyle \nu }es la viscosidad cinemática ydo∗,D{\displaystyle C_{*},D}son coeficientes positivos que representan la disipación y difusión de energía cinética respectivamente. Estos pueden determinarse siguiendo el procedimiento dinámico con minimización restringida como en DLM(+). Este enfoque, aunque más costoso de implementar que DLM(+), resultó ser estable y produjo una buena concordancia con los datos experimentales para una variedad de flujos probados. Además, es matemáticamente imposible que DLM(k) resulte en un cálculo inestable ya que la suma de las energías de gran escala y SGS no es creciente por construcción. Ambos enfoques que incorporan retrodispersión funcionan bien. Producen modelos que son ligeramente menos disipativos con un rendimiento algo mejorado con respecto a DLM(+). El modelo DLM(k) produce adicionalmente la energía cinética subgrid, que puede ser una magnitud física de interés. Estas mejoras se logran a un costo algo mayor en la implementación del modelo.

El modelo dinámico se originó en el programa de verano de 1990 del Centro de Investigación de Turbulencia (CTR) de la Universidad de Stanford . Una serie de seminarios "CTR-Tea" celebraron el 30.º aniversario (archivado el 30/10/2022 en la Wayback Machine) de este importante hito en la modelización de la turbulencia.

Véase también

Lecturas adicionales

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Referencias

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