Fórmula de Larmor

En electrodinámica , la fórmula de Larmor se utiliza para calcular la potencia total radiada por una carga puntual no relativista a medida que acelera. Fue derivada por primera vez por Joseph Larmor en 1897, ^{[ 1 ]} en el contexto de la teoría ondulatoria de la luz .

Cuando cualquier partícula cargada (como un electrón , un protón o un ion ) se acelera, irradia energía en forma de ondas electromagnéticas . Para una partícula cuya velocidad es pequeña en relación con la velocidad de la luz (es decir, no relativista), la potencia total que irradia (cuando se considera como una carga puntual) se puede calcular mediante la fórmula de Larmor: $${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\\[0.6ex]&={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}&{\text{ (unidades SI)}}\\[1.5ex]P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}&{\text{ (cgs unidades)}}\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle {\dot {v}}}$o${\displaystyle a}$es la aceleración adecuada ,${\displaystyle q}$es el cargo,${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz, y${\displaystyle \mu _{0}=1/\varepsilon _{0}c^{2}}$es la permeabilidad del vacío . ^{[ 2 ]} Una generalización relativista viene dada por los potenciales de Liénard-Wiechert .

En cualquiera de los dos sistemas de unidades, la potencia radiada por un solo electrón se puede expresar en términos del radio clásico del electrón y la masa del electrón como: $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$

Una de las implicaciones es que un electrón que orbita alrededor de un núcleo, como en el modelo de Bohr , debería perder energía, caer al núcleo y el átomo colapsaría. Este enigma no se resolvió hasta la introducción de la teoría cuántica .

Para calcular la potencia radiada por una carga puntual${\displaystyle q}$en una posición${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, con una velocidad,${\displaystyle \mathbf {v} (t),}$Integramos el vector de Poynting sobre la superficie de una esfera de radio R para obtener: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle P={\frac {cR^{2}}{4\pi }}\oint \mathbf {\hat {r}} \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)]d\Omega .}$$ Los campos eléctrico y magnético vienen dados por las ecuaciones de campo de Liénard-Wiechert, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {q\left(\mathbf {\hat {r}} _{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}{r_{r}^{2}\gamma _{r}^{2}{\left(1-\mathbf {{\hat {r}}_{r}} \cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}^{3}}}+{\frac {q}{c}}\;{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{r}\times \left[\left(\mathbf {\hat {r}} _{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{r}\right]}{r_{r}{\left(1-\mathbf {\hat {r}} _{r}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}^{3}}}\\[1ex]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t).\end{aligned}}}$$ El vector de radio,${\displaystyle {\mathbf {r} }_{r}}$, es la distancia desde la posición de la partícula cargada en el tiempo retardado hasta el punto de observación de los campos electromagnéticos en el tiempo presente,${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$es la velocidad de la carga dividida por${\displaystyle c}$,${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$es la aceleración de la carga dividida por${\displaystyle c}$, y${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$. Las variables,${\displaystyle {\mathbf {r} }_{r}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{r}}$,${\displaystyle \gamma _{r}}$, y${\displaystyle {\mathbf {a} }_{r}}$todos son evaluados en el momento retardado,${\displaystyle t_{r}=t-r_{r}/c}$.

Realizamos una transformación de Lorentz al sistema de referencia en reposo de la carga puntual donde${\displaystyle \mathbf {v} '=0}$, y $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a'} _{\parallel }&=\mathbf {a} _{\parallel }\gamma ^{3},&\mathbf {a} '_{\perp }&=\mathbf {a} _{\perp }\gamma ^{2}.\end{aligned}}}$$ Aquí,${\displaystyle {\mathbf {a} '}_{\parallel }}$¿La aceleración del sistema de referencia en reposo es paralela a${\displaystyle \mathbf {v} }$, y${\displaystyle \mathbf {a} '_{\perp }}$es la aceleración del sistema de referencia en reposo perpendicular a${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Integramos el vector de Poynting del sistema de referencia en reposo sobre la superficie de una esfera de radio R.', Llegar. $${\displaystyle P'={\frac {cR'^{2}}{4\pi }}\oint \mathbf {\hat {r}} '\cdot \left[\mathbf {E} '(\mathbf {r} ',t')\times \mathbf {B} '(\mathbf {r} ',t')\right]d\Omega ',}$$ Tomamos el límite${\displaystyle R'\to 0.}$En este límite,${\displaystyle t'_{r}=t'}$, y${\displaystyle {\mathbf {a} '}_{r}={\mathbf {a} '},}$Por lo tanto, el campo eléctrico viene dado por $${\displaystyle \mathbf {E} '(\mathbf {r} ',t')={\frac {q\mathbf {\hat {r}} '}{r'^{2}}}+{\frac {q\left[\mathbf {\hat {r}} '\left(\mathbf {\hat {r}} '\cdot \mathbf {a} '\right)-\mathbf {a} '\right]}{c^{2}r'}},}$$ con todas las variables evaluadas en el momento actual.

Entonces, la integral de superficie para la potencia radiada se reduce a $${\displaystyle P'={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}}}\oint {\mathbf {\hat {r}} '}\cdot \left[\mathbf {a} '\times \left({\hat {\mathbf {r} }}'\times \mathbf {a} '\right)\right]d\Omega '={\frac {2q^{2}a'^{2}}{3c^{3}}}.}$$ La potencia radiada se puede expresar en términos de la aceleración original en el sistema de referencia móvil , para dar $${\displaystyle P'={\frac {2q^{2}}{3c^{3}}}\left(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{6}+a_{\perp }^{2}\gamma ^{4}\right)={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}\left[a^{2}-{\left(\mathbf {v} \times \mathbf {a} /c\right)}^{2}\right].}$$ Las variables de esta ecuación están en el sistema de referencia móvil original, pero la tasa de emisión de energía en el lado izquierdo de la ecuación todavía se da en términos de las variables del sistema de referencia en reposo. Sin embargo, se mostrará más adelante que el lado derecho es un invariante de Lorentz, por lo que la potencia radiada se puede transformar mediante la transformación de Lorentz al sistema de referencia móvil, obteniendo finalmente $${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}\left(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{2}+a_{\perp }^{2}\right)={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}\left[a^{2}-{\left(\mathbf {v} \times \mathbf {a} /c\right)}^{2}\right].}$$ Este resultado (en dos formas) es idéntico a la extensión relativista de Liénard ^{[ 4 ]} de la fórmula de Larmor, y se presenta aquí con todas las variables en el tiempo actual. Su reducción no relativista se reduce a la fórmula original de Larmor.

Para energías elevadas, parece que la potencia radiada para la aceleración paralela a la velocidad es un factor.${\displaystyle \gamma ^{2}}$mayor que la de la aceleración perpendicular. Sin embargo, escribir la fórmula de Liénard en términos de la velocidad da una implicación engañosa. En términos de momento en lugar de velocidad, la fórmula de Liénard se convierte en

$${\displaystyle P={\frac {2q^{2}}{3c^{3}m^{2}}}\left[\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\parallel }^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\perp }^{2}\right].}$$

Esto demuestra que la potencia emitida para${\displaystyle d\mathbf {p} /dt}$perpendicular a la velocidad es mayor por un factor de${\displaystyle \gamma ^{2}}$que el poder para${\displaystyle d\mathbf {p} /dt}$paralela a la velocidad. Esto hace que la amortiguación por radiación sea despreciable para los aceleradores lineales, pero un factor limitante para los aceleradores circulares.

Existe una extensión para la fórmula de Larmor en la relatividad especial . La potencia de radiación dada una aceleración de cuatro${\displaystyle a^{\mu }}$sería

$${\displaystyle P=(q^{2}/6\pi \varepsilon _{o}c^{3})(a^{\mu }a_{\mu })}$$

La fórmula de Lienard-Wiechert aparece como una restricción de esta ecuación cuando se utiliza un vector de aceleración 3.

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