Borde (geometría)

Tres aristas AB, BC y CA, cada una entre dos vértices de un triángulo.

Un polígono está delimitado por lados; este cuadrado tiene 4 lados.

En un poliedro , como este cubo , cada arista es compartida por dos caras .

En un politopo de 4 caras , cada arista es compartida por tres o más caras , como se puede apreciar en esta proyección de un teseracto .

En geometría , una arista es un tipo particular de segmento de línea que une dos vértices en un polígono , poliedro o politopo de dimensiones superiores . ^{[ 1 ]} En un polígono, una arista es un segmento de línea en el límite, ^{[ 2 ]} y a menudo se le llama lado del polígono . En un poliedro o, más generalmente, en un politopo, una arista es un segmento de línea donde se encuentran dos caras (o lados del poliedro). ^{[ 3 ]} Un segmento que une dos vértices mientras pasa por el interior o el exterior no es una arista, sino que se llama diagonal .

Una arista también puede ser una línea infinita que separa dos semiplanos . ^{[ 4 ]} Los lados de un ángulo plano son semirrectas (o rayos) semiinfinitas . ^{[ 5 ]}

En teoría de grafos , una arista es un objeto abstracto que conecta dos vértices del grafo , a diferencia de las aristas de polígonos y poliedros, que tienen una representación geométrica concreta como un segmento de línea. Sin embargo, cualquier poliedro puede representarse mediante su esqueleto o esqueleto de aristas, un grafo cuyos vértices son los vértices geométricos del poliedro y cuyas aristas corresponden a las aristas geométricas. ^{[ 6 ]} Por el contrario, los grafos que son esqueletos de poliedros tridimensionales pueden caracterizarse, según el teorema de Steinitz, como grafos planares con tres vértices conexos . ^{[ 7 ]}

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene características de Euler.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como la fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de aristas es 2 menos que la suma del número de vértices y caras. Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices y 6 caras, y por lo tanto 12 aristas.

En un polígono, dos aristas se encuentran en cada vértice ; más generalmente, según el teorema de Balinski , al menos d aristas se encuentran en cada vértice de un politopo convexo d- dimensional. ^{[ 8 ]} De manera similar, en un poliedro, exactamente dos caras bidimensionales se encuentran en cada arista, ^{[ 9 ]} mientras que en politopos de dimensiones superiores tres o más caras bidimensionales se encuentran en cada arista.

En la teoría de politopos convexos de alta dimensión , una faceta o lado de un politopo d- dimensional es una de sus características ( d - 1)-dimensionales, una arista es una característica ( d - 2)-dimensional y un pico es una característica ( d - 3)-dimensional. Así, las aristas de un polígono son sus facetas, las aristas de un poliedro convexo tridimensional son sus aristas y las aristas de un politopo tetradimensional son sus picos. ^{[ 10 ]}      

• Base (geometría)
• Lado extendido

• Weisstein, Eric W. , "Arista poligonal" , MathWorld
• Weisstein, Eric W. , "Arista poliédrica" , MathWorld