Reciprocidad cuadrática

Consideremos el polinomio${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$y sus valores para${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$Las factorizaciones primas de estos valores se dan de la siguiente manera:

Los factores principales${\displaystyle p}$divisor${\displaystyle f(n)}$son${\displaystyle p=2,5}$y cada número primo cuyo último dígito es${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 9}$; ningún número primo que termine en${\displaystyle 3}$o${\displaystyle 7}$alguna vez aparezca. Ahora,${\displaystyle p}$es un factor primordial de algunos${\displaystyle n^{2}-5}$cuando sea${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\pmod {p}}}$, es decir, siempre que${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\pmod {p}},}$es decir, siempre que 5 sea un residuo cuadrático módulo${\displaystyle p}$Esto sucede para${\displaystyle p=2,5}$y esos primos con${\displaystyle p\equiv 1,4{\pmod {5}},}$y los últimos números${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$y${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$son precisamente los residuos cuadráticos módulo${\displaystyle 5}$. Por lo tanto, excepto por${\displaystyle p=2,5}$, tenemos eso${\displaystyle 5}$es un residuo cuadrático módulo${\displaystyle p}$si y solo si${\displaystyle p}$es un residuo cuadrático módulo${\displaystyle 5}$.

La ley de reciprocidad cuadrática proporciona una caracterización similar de los divisores primos de${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$para cualquier primo q , lo que lleva a una caracterización para cualquier entero${\displaystyle q}$.

Sea p un primo impar. Un número módulo p es un residuo cuadrático siempre que sea congruente con un cuadrado (mod p ); de lo contrario, es un no residuo cuadrático. (Se puede omitir "cuadrático" si el contexto lo aclara). Aquí excluimos el cero como caso especial. Entonces, como consecuencia del hecho de que el grupo multiplicativo de un cuerpo finito de orden p es cíclico de orden p-1 , se cumplen las siguientes afirmaciones:

• Hay un número igual de residuos cuadráticos y no residuos; y
• El producto de dos residuos cuadráticos es un residuo, el producto de un residuo y un no residuo es un no residuo, y el producto de dos no residuos es un residuo.

Para evitar cualquier duda, estas afirmaciones no se cumplen si el módulo no es primo. Por ejemplo, solo hay 3 residuos cuadráticos (1, 4 y 9) en el grupo multiplicativo módulo 15. Además, aunque 7 y 8 no son residuos cuadráticos, su producto 7x8 = 11 tampoco lo es, a diferencia del caso primo.

Los residuos cuadráticos aparecen como entradas en la siguiente tabla, indexadas por el número de fila como módulo y el número de columna como raíz:

Esta tabla está completa para los primos impares menores de 50. Para comprobar si un número m es un residuo cuadrático módulo uno de estos primos p , busque a ≡ m (mod p ) y 0 ≤ a < p . Si a está en la fila p , entonces m es un residuo (mod p ); si a no está en la fila p de la tabla, entonces m no es un residuo (mod p ).

La ley de reciprocidad cuadrática establece que ciertos patrones que se encuentran en la tabla son verdaderos en general.

Otra forma de organizar los datos es ver qué primos son residuos cuadráticos módulo qué otros primos, como se ilustra en la siguiente tabla. La entrada en la fila p, columna q, es R si q es un residuo cuadrático (mod p ); si no es un residuo, la entrada es N.

Si la fila, la columna o ambas son ≡ 1 (mod 4), la entrada es azul o verde; si tanto la fila como la columna son ≡ 3 (mod 4), es amarilla o naranja.

Las entradas azules y verdes son simétricas con respecto a la diagonal: La entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es R (resp N ).

Por otro lado, los amarillos y naranjas son antisimétricos: la entrada para la fila p , columna q es R (resp. N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es N (resp. R ).

La ley de reciprocidad establece que estos patrones se cumplen para todos los valores de p y q .

Ordenar las filas y columnas módulo 4 hace que el patrón sea más claro.

Es obvio que 1 es un residuo cuadrático para todos los números primos. La cuestión se vuelve más interesante para −1. Al examinar la tabla, encontramos −1 en las filas 5, 13, 17, 29, 37 y 41, pero no en las filas 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 ni 47. El primer conjunto de primos es congruente con 1 módulo 4, y el segundo es congruente con 3 módulo 4.

Primer suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$es resoluble si y solo si${\displaystyle p}$es congruente con 1 módulo 4.

Al examinar la tabla, encontramos 2 en las filas 7, 17, 23, 31, 41 y 47, pero no en las filas 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 o 43. Los primeros primos son todos ≡ ±1 (mod 8), y los últimos son todos ≡ ±3 (mod 8). Esto conduce a

Segundo suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\pmod {p}}}$es resoluble si y solo si${\displaystyle p}$es congruente con ±1 módulo 8.

−2 está en las filas 3, 11, 17, 19, 41, 43, pero no en las filas 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 o 47. Las primeras son ≡ 1 o ≡ 3 (mod 8), y las últimas son ≡ 5, 7 (mod 8).

El 3 está en las filas 11, 13, 23, 37 y 47, pero no en las filas 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 o 43. Las primeras son ≡ ±1 (mod 12) y las últimas son todas ≡ ±5 (mod 12).

−3 está en las filas 7, 13, 19, 31, 37 y 43, pero no en las filas 5, 11, 17, 23, 29, 41 o 47. Las primeras son ≡ 1 (mod 3) y las últimas ≡ 2 (mod 3).

Dado que el único residuo (módulo 3) es 1, vemos que −3 es un residuo cuadrático módulo todo primo que es un residuo módulo 3.

El 5 está en las filas 11, 19, 29, 31 y 41, pero no en las filas 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 o 47. Las primeras son ≡ ±1 (mod 5) y las últimas son ≡ ±2 (mod 5).

Dado que los únicos residuos (módulo 5) son ±1, vemos que 5 es un residuo cuadrático módulo cada primo que es un residuo módulo 5.

−5 está en las filas 3, 7, 23, 29, 41, 43 y 47, pero no en las filas 11, 13, 17, 19, 31 o 37. Las primeras son ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) y las últimas son ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Las observaciones sobre −3 y 5 siguen siendo válidas: −7 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 7, −11 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 11, 13 es un residuo (mod p ) si y solo si p es un residuo módulo 13, etc. Las reglas de apariencia más complicada para los caracteres cuadráticos de 3 y −5, que dependen de congruencias módulo 12 y 20 respectivamente, son simplemente las de −3 y 5 trabajando con el primer suplemento.

Ejemplo. Para que −5 sea un residuo (mod p ), tanto 5 como −1 deben ser residuos (mod p ) o ambos deben ser no residuos: es decir, p ≡ ±1 (mod 5) y p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ ±2 (mod 5) y p ≡ 3 (mod 4). Usando el teorema chino del resto, esto es equivalente a p ≡ 1, 9 (mod 20) o p ≡ 3, 7 (mod 20).

La generalización de las reglas para −3 y 5 es el enunciado de Gauss sobre la reciprocidad cuadrática.

El valor del símbolo de Legendre de${\displaystyle -1}$(utilizado en la demostración anterior) se deduce directamente del criterio de Euler :

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$

según el criterio de Euler, pero ambos lados de esta congruencia son números de la forma${\displaystyle \pm 1}$, por lo tanto deben ser iguales.

Si${\displaystyle 2}$Se puede concluir que es un residuo cuadrático si conocemos el número de soluciones de la ecuación.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$con${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$que se pueden resolver mediante métodos estándar. Es decir, todas sus soluciones donde${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$pueden agruparse en octillizos de la forma${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$y lo que queda son cuatro soluciones de la forma${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$y posiblemente cuatro soluciones adicionales donde${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$y${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$, que existen precisamente si${\displaystyle 2}$es un residuo cuadrático. Es decir,${\displaystyle 2}$es un residuo cuadrático precisamente si el número de soluciones de esta ecuación es divisible por${\displaystyle 8}$. Y esta ecuación se puede resolver aquí de la misma manera que sobre los números racionales: sustituir${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$donde exigimos que${\displaystyle a\neq 0}$(omitiendo las dos soluciones)${\displaystyle (1,\pm 1)}$), entonces la ecuación original se transforma en

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

Aquí${\displaystyle t}$puede tener cualquier valor que no haga que el denominador sea cero, para lo cual hay${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$posibilidades (es decir${\displaystyle 2}$si${\displaystyle -1}$es un residuo,${\displaystyle 0}$si no) – y tampoco hace${\displaystyle a}$cero, lo que excluye una opción más,${\displaystyle t=-1}$. Por lo tanto hay

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

posibilidades para${\displaystyle t}$y así, junto con las dos soluciones excluidas, hay en general${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$soluciones de la ecuación original. Por lo tanto,${\displaystyle 2}$es un residuo módulo${\displaystyle p}$si y solo si${\displaystyle 8}$divide${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$. Esta es una reformulación de la condición mencionada anteriormente.

Fermat demostró ^{[ 5 ]} (o afirmó haber demostrado) ^{[ 6 ]} una serie de teoremas sobre cómo expresar un número primo mediante una forma cuadrática :

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ o }}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ o }}\quad p\equiv 1,3{\pmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ o }}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}\\\end{aligned}}}$

No enunció la ley de reciprocidad cuadrática, aunque los casos −1, ±2 y ±3 son deducciones fáciles de estos y otros de sus teoremas.

También afirmó tener una prueba de que si el número primo p termina en 7 (en base 10) y el número primo q termina en 3, y p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

Euler conjeturó, y Lagrange demostró, que ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\pmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\pmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

Demostrar estas y otras afirmaciones de Fermat fue una de las cosas que llevó a los matemáticos al teorema de reciprocidad.

Traducido a notación moderna, Euler afirmó ^{[ 8 ]} que para números primos impares distintos p y q :

1. Si q ≡ 1 (mod 4), entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y solo si existe algún entero b tal que p ≡ b ² (mod q ).
2. Si q ≡ 3 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y solo si existe algún entero b que es impar y no divisible por q tal que p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Esto equivale a la reciprocidad cuadrática.

No pudo probarlo, pero sí probó el segundo suplemento. ^{[ 9 ]}

Fermat demostró que si p es un número primo y a es un número entero,

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.}$

Por lo tanto, si p no divide a , utilizando el hecho no obvio (véase, por ejemplo, Ireland y Rosen más adelante) de que los residuos módulo p forman un cuerpo y, por lo tanto, en particular, el grupo multiplicativo es cíclico, entonces puede haber como máximo dos soluciones para una ecuación cuadrática:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

Legendre ^{[ 10 ]} hace que a y A representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b y B primos positivos ≡ 3 (mod 4), y establece una tabla de ocho teoremas que juntos son equivalentes a la reciprocidad cuadrática:

Dice que dado que las expresiones de la forma

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

Aparecerán con tanta frecuencia que las abreviará como:

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\pmod {c}}=\pm 1.}$

Esto ahora se conoce como el símbolo de Legendre , y una definición equivalente ^{[ 11 ] [ 12 ]} se utiliza hoy en día: para todos los enteros a y todos los primos impares p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

Gauss primero demuestra ^{[ 14 ]} las leyes suplementarias. Establece ^{[ 15 ]} la base para la inducción demostrando el teorema para ±3 y ±5. Observando ^{[ 16 ]} que es más fácil enunciar para −3 y +5 que para +3 o −5, enuncia ^{[ 17 ]} el teorema general en la forma:

Si p es un primo de la forma 4 n  +  1, entonces p , pero si p es de la forma 4 n + 3, entonces − p , es un residuo cuadrático (resp. no residuo) de todo primo, que, con signo positivo, es un residuo (resp. no residuo) de p . En la siguiente frase, lo bautiza como el "teorema fundamental" (Gauss nunca usó la palabra "reciprocidad").

Introduciendo la notación a R b (resp. a N b ) para significar que a es un residuo cuadrático (resp. no residuo) (mod b ), y haciendo que a , a ′ , etc. representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b , b ′ , etc. primos positivos ≡ 3 (mod 4), lo divide en los mismos 8 casos que Legendre:

En el siguiente artículo generaliza esto a lo que son básicamente las reglas para el símbolo de Jacobi (abajo) . Sea A , A ' , etc., números positivos cualesquiera (primos o compuestos) ≡ 1 (mod 4) y B , B ' , etc. números positivos ≡ 3 (mod 4):

Todos estos casos adoptan la forma "si un primo es un residuo (módulo un compuesto), entonces el compuesto es un residuo o no residuo (módulo el primo), dependiendo de las congruencias (módulo 4)". Demuestra que esto se deduce de los casos 1) - 8).

Gauss necesitaba, y pudo demostrar, ^{[ 18 ]} un lema similar al que necesitaba Legendre:

Lema de Gauss. Si p es un primo congruente con 1 módulo 8, entonces existe un primo impar q tal que:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

La demostración de la reciprocidad cuadrática utiliza la inducción completa .

Versión de Gauss en símbolos de Legendre.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

Estos se pueden combinar:

Versión combinada de Gauss en símbolos de Legendre.

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

En otras palabras:

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Entonces:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

Varias demostraciones del teorema, especialmente aquellas basadas en sumas de Gauss ^{[ 19 ]} o la descomposición de primos en cuerpos de números algebraicos , ^{[ 20 ] [ 21 ]} derivan esta fórmula.

Las afirmaciones de esta sección son equivalentes a la reciprocidad cuadrática: si, por ejemplo, se asume la versión de Euler, se puede deducir la versión de Legendre-Gauss a partir de ella, y viceversa.

Formulación de Euler de la reciprocidad cuadrática. ^{[ 22 ]} Si${\displaystyle p\equiv \pm q{\pmod {4a}}}$entonces${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

Esto se puede demostrar utilizando el lema de Gauss .

Reciprocidad cuadrática (Gauss; cuarta demostración). ^{[ 23 ]} Sean a , b , c , ... primos impares positivos desiguales, cuyo producto es n , y sea m el número de ellos que son ≡ 3 (mod 4); comprobar si n / a es un residuo de a , si n / b es un residuo de b , .... El número de no residuos encontrados será par cuando m ≡ 0, 1 (mod 4), y será impar si m ≡ 2, 3 (mod 4).

La cuarta demostración de Gauss consiste en probar este teorema (comparando dos fórmulas para el valor de las sumas de Gauss) y luego restringirlo a dos primos. Luego da un ejemplo: Sean a = 3, b = 5, c = 7 y d = 11. Tres de estos, 3, 7 y 11 ≡ 3 (mod 4), por lo que m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11  R  3;  3×7×11  R  5;  3×5×11  R  7;  y  3×5×7  N  11, por lo que hay un número impar de no residuos.

Formulación de Eisenstein de la reciprocidad cuadrática. ^{[ 24 ]} Supongamos que

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\pmod {4}},\quad q\equiv q'{\pmod {4}}.}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

Formulación de Mordell de la reciprocidad cuadrática. ^{[ 25 ]} Sean a , b y c enteros. Para cada primo, p , que divide abc si la congruencia

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

Si tiene una solución no trivial, entonces también la tiene:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {4abc}}.}$

Formulación de la función zeta

Como se menciona en el artículo sobre las funciones zeta de Dedekind , la reciprocidad cuadrática es equivalente a que la función zeta de un campo cuadrático sea el producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet.

El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre; la principal diferencia es que el número inferior debe ser positivo e impar, pero no necesariamente primo. Si es primo, ambos símbolos coinciden. Obedece las mismas reglas de manipulación que el símbolo de Legendre. En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\pmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\pmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

y si ambos números son positivos e impares (esto a veces se denomina "ley de reciprocidad de Jacobi"): ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

Sin embargo, si el símbolo de Jacobi es 1 pero el denominador no es primo, no necesariamente implica que el numerador sea un residuo cuadrático del denominador. Los casos 9) - 14) de Gauss anteriores pueden expresarse en términos de símbolos de Jacobi:

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

y como p es primo, el lado izquierdo es un símbolo de Legendre, y sabemos si M es un residuo módulo p o no.

Las fórmulas enumeradas en la sección anterior son válidas para los símbolos de Jacobi siempre que dichos símbolos estén definidos. La fórmula de Euler puede escribirse

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

Ejemplo.

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2 es un residuo módulo los primos 7, 23 y 31:

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\pmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\pmod {31}}.}$

Pero 2 no es un residuo cuadrático módulo 5, por lo que no puede serlo módulo 15. Esto está relacionado con el problema que tuvo Legendre: si${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$Entonces , a es un no residuo módulo cada primo en la progresión aritmética m + 4 a , m + 8 a , ..., si hay primos en esta serie, pero eso no se demostró hasta décadas después de Legendre. ^{[ 27 ]}

La fórmula de Eisenstein requiere condiciones de primalidad relativa (que se cumplen si los números son primos).

Dejar${\displaystyle a,b,a',b'}$sean números impares positivos tales que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\pmod {4}}\\&b\equiv b'{\pmod {4}}\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

La ley de reciprocidad cuadrática se puede formular en términos del símbolo de Hilbert.${\displaystyle (a,b)_{v}}$donde a y b son dos números racionales distintos de cero cualesquiera y v recorre todos los valores absolutos no triviales de los racionales (el arquimediano y los valores absolutos p -ádicos para los primos p ). El símbolo de Hilbert${\displaystyle (a,b)_{v}}$es 1 o −1. Se define como 1 si y solo si la ecuación${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}}$tiene una solución en la finalización de los racionales en v distinto de${\displaystyle x=y=z=0}$La ley de reciprocidad de Hilbert establece que${\displaystyle (a,b)_{v}}$, para a y b fijos y v variable , es 1 para todos los v excepto un número finito y el producto de${\displaystyle (a,b)_{v}}$sobre todo v es 1. (Esto se asemeja formalmente al teorema de los residuos del análisis complejo ).

Sobre Q , la reciprocidad de Hilbert es equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática clásica junto con las leyes suplementarias, una vez que se insertan las fórmulas explícitas para los símbolos de Hilbert locales. Sin embargo, desde una perspectiva moderna, la reciprocidad de Hilbert es la formulación más conceptual, y la reciprocidad cuadrática se recupera de ella como un caso particular. A diferencia de la ley de reciprocidad cuadrática elemental, la reciprocidad de Hilbert es una fórmula de producto global que relaciona los símbolos de Hilbert locales en todos los lugares. La reciprocidad cuadrática requiere condiciones de signo (a saber, la positividad de los primos involucrados) y un tratamiento especial del primo 2, mientras que la reciprocidad de Hilbert se formula uniformemente sobre todos los lugares de Q. Por lo tanto, es una forma más natural de expresar la reciprocidad cuadrática con miras a la generalización: la reciprocidad de Hilbert se extiende naturalmente a todos los campos globales , y esta extensión puede considerarse una generalización de la reciprocidad cuadrática a campos globales arbitrarios.

En su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica , ^{[ 30 ]} Gauss afirmó la reciprocidad cuadrática para el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$de enteros gaussianos , diciendo que es un corolario de la ley bicuadrática en${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$pero no proporcionó una prueba de ninguno de los teoremas. Dirichlet ^{[ 31 ]} demostró que la ley en${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$puede deducirse de la ley para${\displaystyle \mathbb {Z} }$sin utilizar la reciprocidad cuártica.

Para un primo gaussiano impar${\displaystyle \pi }$y un entero gaussiano${\displaystyle \alpha }$relativamente privilegiado para${\displaystyle \pi ,}$define el carácter cuadrático para${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$por:

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\pmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\pmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Dejar${\displaystyle \lambda =a+bi,\mu =c+di}$sean primos gaussianos distintos donde a y c son impares y b y d son pares. Entonces ^{[ 32 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

Consideremos la siguiente raíz cúbica de la unidad :

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.}$

El anillo de enteros de Eisenstein es${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ].}$^{[ 33 ]} Para un primo de Eisenstein${\displaystyle \pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,}$y un entero de Eisenstein${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle \gcd(\alpha ,\pi )=1,}$define el carácter cuadrático para${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$por la fórmula

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\pmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\pmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sean λ = a + bω y μ = c + dω primos de Eisenstein distintos donde a y c no son divisibles por 3 y b y d son divisibles por 3. Eisenstein demostró ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

Las leyes anteriores son casos especiales de leyes más generales que se cumplen para el anillo de enteros en cualquier cuerpo de números cuadráticos imaginarios . Sea k un cuerpo de números cuadráticos imaginarios con anillo de enteros.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$Para un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$con norma extraña${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$y${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k},}$define el carácter cuadrático para${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$como

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\pmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}}$

para un ideal arbitrario${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$incorporado a los ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}}$definir

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},}$

y para${\displaystyle \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$definir

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.}$

Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},}$es decir${\displaystyle \left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}}$es una base integral para${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$Para${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{k}}$con norma extraña${\displaystyle \mathrm {N} \nu ,}$Definimos los enteros (ordinarios) a , b , c , d mediante las ecuaciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}}$

y una función

${\displaystyle \chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.}$

A pesar de${\displaystyle u,v\in {\mathcal {O}}_{k}}$con m = Nμ y n = Nν ambos impares, Herglotz demostró ^{[ 35 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

Además, si

${\displaystyle \mu \equiv \mu '{\pmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\pmod {4}}}$

Entonces ^{[ 36 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

Sea F un cuerpo finito con q = p ⁿ elementos, donde p es un número primo impar y n es positivo, y sea F [ x ] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en F . Si${\displaystyle f,g\in F[x]}$y f es irreducible , mónica y tiene grado positivo, defina el carácter cuadrático para F [ x ] de la manera habitual:

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\pmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

Si${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{n}}$es un producto de irreducibles mónicos

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).}$

Dedekind demostró que si${\displaystyle f,g\in F[x]}$son mónicos y tienen grados positivos, ^{[ 37 ]}

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.}$