Ley de cotangentes

En trigonometría , la ley de las cotangentes es una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las cotangentes de las mitades de los tres ángulos. ^{[1] [2]}

Así como tres cantidades cuya igualdad se expresa por la ley de los senos son iguales al diámetro del círculo circunscrito del triángulo (o a su recíproco, según se exprese la ley), así también la ley de las cotangentes relaciona el radio del círculo inscrito de un triángulo (el inradio ) con sus lados y ángulos.

Usando las notaciones usuales para un triángulo (ver la figura en la parte superior derecha), donde a, b, c son las longitudes de los tres lados, A, B, C son los vértices opuestos a esos tres lados respectivos, α, β, γ son los ángulos correspondientes en esos vértices, s es el semiperímetro , es decir, s = ⁠a + b + c/2⁠ , y r es el radio del círculo inscrito, la ley de las cotangentes establece que $${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {1}{2}}\alpha }{sa}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta }{sb}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\gamma }{sc}}={\frac {1}{r}},}$$

y además que el radio interno viene dado por $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}\,.}$$

En la figura superior, los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo dividen el perímetro en 6 segmentos, en 3 pares. En cada par los segmentos tienen la misma longitud. Por ejemplo, los 2 segmentos adyacentes al vértice A son iguales. Si tomamos un segmento de cada par, su suma será el semiperímetro s . Un ejemplo de esto son los segmentos que se muestran en color en la figura. Los dos segmentos que forman la línea roja suman a , por lo que el segmento azul debe tener una longitud s − a . Obviamente, los otros cinco segmentos también deben tener longitudes s − a , s − b o s − c , como se muestra en la figura inferior.

Inspeccionando la figura, usando la definición de la función cotangente, tenemos y de manera similar para los otros dos ángulos, demostrando la primera afirmación. $${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {sa}{r}}\,}$$

Para la segunda, la fórmula del radio interno, partimos de la fórmula general de adición : $${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$$

Al postularnos obtenemos: ${\displaystyle \cot \left({\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {1}{2}}\beta +{\frac {1}{2}}\gamma \right)=\cot {\frac {\pi }{2}}=0,}$

$${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}.}$$ (Ésta es también la identidad triple cotangente ).

Sustituyendo los valores obtenidos en la primera parte, obtenemos: Multiplicando por ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(sa)}{r}}{\frac {(sb)}{r}}{\frac {(sc)}{r}}&={\frac {sa}{r}}+{\frac {sb}{r}}+{\frac {sc}{r}}\\[2pt]&={\frac {3s-2s}{r}}\\[2pt]&={\frac {s}{r}}\end{aligned}}}$$r3^​/s⁠ da el valor de r ² , lo que demuestra la segunda afirmación.

Se pueden derivar varios otros resultados de la ley de cotangentes.

• Fórmula de Heron . Nótese que el área del triángulo ABC también está dividida en 6 triángulos más pequeños, también en 3 pares, y los triángulos de cada par tienen la misma área. Por ejemplo, los dos triángulos cerca del vértice A , que son triángulos rectángulos de ancho s − a y altura r , tienen cada uno un área de ⁠1/2⁠ r ( s − a ) . Por lo tanto, esos dos triángulos juntos tienen un área de r ( s − a ) , y el área S de todo el triángulo es

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(sa)+r(sb)+r(sc)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}\\&=r(3s-2s)\\&=rs\end{aligned}}}$$ Esto da el resultado requerido. $${\displaystyle S={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$$

• Primera fórmula de Mollweide . De la fórmula de la adición y la ley de las cotangentes tenemos

$${\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta -\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\cot {\frac {1}{2}}\beta +\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {ab}{2s-ab}}.}$$ Esto da el resultado requerido. $${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\frac {1}{2}}\gamma }}}$$

• Segunda fórmula de Mollweide . De la fórmula de la adición y la ley de las cotangentes tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +1}{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta -1}}\\[4pt]&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +2\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }}\\[4pt]&={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$$

Aquí se requiere un paso adicional para transformar un producto en una suma, de acuerdo con la fórmula suma/producto.

Esto da el resultado

$${\displaystyle {\frac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }}}$$ según sea necesario.

• De aquí también se puede derivar la ley de las tangentes (Silvester 2001, p. 99).

La ley de las cotangentes no es tan común ni está tan bien establecida como las leyes de los senos , cosenos o tangentes , por lo que a veces se aplica el mismo nombre a otras identidades triangulares que involucran cotangentes. Por ejemplo:

La suma de las cotangentes de dos ángulos es igual a la relación entre el lado comprendido entre ellos y la altura que pasa por el tercer vértice: ^[3]

${\displaystyle \cot \alpha +\cot \beta ={\frac {c}{h_{c}}}.}$

La ley de los cosenos se puede expresar en términos de la cotangente en lugar del coseno, lo que lleva el área del triángulo a la identidad: ^[4]${\displaystyle S}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot \gamma .}$

Como los tres ángulos de un triángulo suman la suma de los productos por pares de sus cotangentes, que es uno: ^[5]${\displaystyle \pi ,}$

${\displaystyle \cot \alpha \,\cot \beta +\cot \alpha \,\cot \gamma +\cot \beta \,\cot \gamma =1.}$

• Ley de senos
• Ley de los cosenos
• Ley de las tangentes
• Fórmula de Mollweide
• Fórmula de Heron